Encontrar un polinomio con coeficientes enteros que tiene un mínimo global es igual a (a)$- \sqrt{2}$, (b)$\sqrt{2}$.
Es una escuela de concurso de matemáticas problema. La respuesta es dada:
$$(a) ~~~~~~~P(x)=N(2x^2-1)^2-2x^3+3x,~~~~N>1$$
$$(b) ~~~~~~~Q(x)=P(x^2)=N(2x^4-1)^2-2x^6+3x^2$$
No hay una solución dada.
Mi planteamiento inicial era (antes de ver la respuesta) para tratar de encontrar el mínimo de una general polinomio de partida con el grado $3$ y, a continuación, tratar de igualar los coeficientes para un valor dado de la mínima. Sin embargo, la respuesta claramente demuestra que se requieren grados $4$ $8$ respectivamente, lo que hace que mi método de solución prácticamente impossilbe.
Es fácil mostrar que las respuestas son verdaderas, por ejemplo, el caso (a):
$$P'(x)=8N(2x^2-1)x-6x^2+3=(2x^2-1)(8Nx-2)=0$$
$$x_1=\frac{1}{\sqrt{2}},~~~~~~~x_2=-\frac{1}{\sqrt{2}},~~~~~~~x_3=\frac{1}{4N}$$
$$P''(x)=8N(2x^2-1)+4x(8Nx-2)$$
$$P''(x_1)=2\sqrt{2}(4N\sqrt{2}-2)>0$$
$$P''(x_2)=-2\sqrt{2}(-4N\sqrt{2}-2)>0$$
$$P''(x_3)=\frac{1}{N}-8N<0$$
Por eso, $x_1$ $x_2$ mínimo de puntos, $x_3$ es un punto máximo.
$$P(x_1)=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$
$$P(x_2)=-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$
El caso (b) se deduce trivialmente, si reemplazamos $x \to x^2$.
Cómo es este problema supone que para ser resuelto? Cómo se supone que vamos a encontrar el grado de $P(x)$ y el partido de los coeficientes? Hay algunos teorema acerca de un valor mínimo de un polinomio que podría ayudar?
