Mapas homotópicos suaves y formas cerradas.

Question

¿Alguien tiene alguna idea para mostrar lo siguiente? Permita$f_0, f_1:M\rightarrow N$ mapas homotópicos suaves entre los colectores$M$ y$N$. Supongamos que$M$ es compacto sin frontera. Demuestre que para cada forma cerrada$\omega\in \Omega^n(N)$,$$\int_{M}f_0^*\omega=\int_Mf_1^*\omega.$ $

Answer 1

Sea$F:M\times I\rightarrow N$ una homotopía suave entre$f_0$ y$f_1$.

Entonces, dado que$d$ conmuta con pullbacks y por el teorema de Stokes, tenemos

\begin{align*} 0 &= \int_{M\times I} F^\ast d\omega \\ &= \int_{M\times I} dF^\ast \omega\\ &= \int_{\partial(M\times I)} F^\ast \omega \\ &= \int_{M\times\{1\}} F^\ast \omega - \int_{M\times\{0\}}F^\ast \omega\\ &= \int_M f_1^\ast\omega - \int_Mf_0^\ast \omega. \end{align*}