Descomposición del número real en elementos de medida nula establece

Question

Hay conjuntos A y B tales que se puede descomponer cualquier $x \in \mathbb{R}$ $x = a+b$, $a \in A$ y $b \in B$, donde el Lebesgue medida de $A$ y $B$ es null.

Hay una indicación que esto debe seguir por el hecho de que $C_q = \{z \in[0,1]; z_i\in\{0,2,\cdots,q-1\}\}$ tiene medida nula para cada $q \in \mathbb{N}$, donde $z_i$ son los números en la extensión adic en q $z$, que es $$z=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{z_i}{q^i}$ $

Answer 1

Sí. En el siguiente ejemplo fue dado aquí por Davide Giraudo.

Si $A$ es el conjunto de números reales tal que en su expansión binario apropiado, los términos incluso $0$ y $B$ mismo con impar números, entonces $A$ y $B$ $0$ de la medida pero su suma es la línea verdadera entera

Answer 2

Considerar que el cantor clásico set $C$, entonces el % $ $$C-C = \{x-y\mid x,y\in C\} = [-1,1]$