Si $n \geq 2$ y $m$ son números naturales, demuestre que $\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2-4}}{2}\right)^m=\dfrac{k+\sqrt{k^2-4}}{2}$ para algún número entero $k$ .

Question

La inducción no parece servir de mucho, y no veo de qué otra forma se puede hacer.

Answer 1

Pista. La secuencia $x_m=\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2-4}}{2}\right)^m=\dfrac{k_m+\sqrt{k_m^2-4}}{2}$ satisface la recurrencia lineal $$x_{m+1}=nx_m-x_{m-1}.$$ Por lo tanto, $$k_m=x_m+\frac{1}{x_m}=\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2-4}}{2}\right)^m+\left(\dfrac{n-\sqrt{n^2-4}}{2}\right)^m$$ et $k_{m+1}=nk_m-k_{m-1}$ con $k_0=2$ y $k_1=n$ .

Answer 2

¿Qué tiene de malo la inducción? Primero demuestra por inducción que $$\left(\frac{n+\sqrt{n^2-4}}2\right)^m=\frac{u_m+v_m\sqrt{n^2-4}}2$$ para los enteros $u_m$ y $v_m$ . A continuación, tiene que demostrar que $$v_m^2(n^2-4)=u_m^2-4,$$ equivalentemente $$u_m^2-(n^2-4)v_m^2=4.\tag{*}$$ En la inducción anterior, habrá expresado $u_m$ y $v_m$ en términos de $u_{m-1}$ y $v_{m-1}$ . Estas fórmulas te darán una prueba inductiva de (*).