Supongamos que rodar un dado echado a un lado justo $6$ repetidamente. Encontrar que el número esperado de rollos necesario para ver $3$ del mismo número en la sucesión.

Question

Supongamos que rodar una feria de seis caras de morir en varias ocasiones.

Encuentre el número esperado de rollos que se requiere para ver $3$ en el mismo número en la sucesión

Desde el siguiente enlace, me enteré de que $258$ rollos se espera ver 3 seises aparecen en sucesión. Así que estoy pensando que para un mismo (cualquiera) número, los rollos de espera se $258/6 = 43$. Pero estoy seguro de cómo mostrar esto y si realmente es correcto.

¿Cuántas veces se lanza un dado antes de llegar dos periodos consecutivos de seis?

Answer 1

Para $n\in \{0,1,2\}$ Let $E[n]$denotan la respuesta teniendo en cuenta que usted está a partir de una racha de $n$ rollos consecutivos. La respuesta que usted quiere es $E=E[0]$, aunque se encuentra nunca en estado $0$ excepto al principio.

Tomamos nota de $$E[2]=\frac 16\times 1+\frac 56\times \left(E[1]+1\right)$ $ $$E[1]=\frac 16\times \left(E[2]+1\right)+\frac 56\times \left(E[1]+1\right)$ $

$$E=E[0]=E[1]+1$$

Este sistema es fácilmente resuelto y restricción error (siempre es posible), rendimientos $$\boxed {E=43}$ $

Answer 2

Respuesta de lo de aquí, la función de generación probabilidad $u_0(s)=\mathbb{E}(s^T)$ para el número de ensayos $T$ necesaria para obtener tres valores consecutivos del mismo es
$$u_0(s)={s^3\over 36-30s-5s^2}.$$ Differentiating this and setting $s = 1$ en el derivado de la muestra que el $\mathbb{E}(T)=43.$

Answer 3

Podemos tratar esto como una de tres estados de la absorción de la cadena de markov: una length3 de ejecución se ha visto, de lo contrario, la ejecución actual es length2, ejecución actual es de longitud 1. La matriz de transición: $\begin{bmatrix}1&\frac{1}{6}&0\\0&0&\frac{1}{6}\\0&\frac{5}{6}&\frac{5}{6}\end{bmatrix}$

Esto es en la forma estándar $\left[\begin{array}{c|c}I&S\\\hline0&R\end{array}\right]$

Dirigimos nuestra atención a la matriz fundamental $(I-R)^{-1} = \begin{bmatrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}6&6\\30&36\end{bmatrix}$

Después de la primera tirada, entramos en la cadena de markov en el tercer estado. La adición de las entradas de la matriz fundamental correspondiente a esa columna nos indica el tiempo de espera hasta que se llegue a un estado de absorción, es decir, hasta que tenemos una cadena de tres rondas consecutivas de un mismo número.

Por lo tanto, la previsión del número de rollos necesarios es $1+36+6=43$

Answer 4

Deje $\mu$ el valor de la expectativa de que el número esperado de rollos que todavía son necesarios si $2$ rollos han pasado con resultado distinto.

Deje $\nu$ el valor de la expectativa de que el número esperado de rollos que todavía son necesarios si $2$ rollos han pasado con igual resultado.

A continuación, la expectativa es: $$2+\frac56\mu+\frac16\nu$$

Aquí $\frac56$ es la probabilidad de que los dos primeros números son distintos e $\frac16$ es la probabilidad de que son iguales.

En segundo lugar tenemos a las relaciones:

$$\mu=\frac56(1+\mu)+\frac16(1+\nu)=1+\frac56\mu+\frac16\nu\tag1$$ and: $$\nu=\frac161+\frac56(1+\mu)=1+\frac56\mu\tag2$$

Las relaciones $(1)$ $(2)$ conducir fácilmente a: $\mu=42$$\nu=36$.

A continuación, $$2+\frac56\mu+\frac16\nu=43$ $ es la respuesta final.

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addendum:

(en las respuestas uptil ahora no se usa que ya aprendí algo).

Deje $Y$ denotar el número de rollos que se requiere para ver los tres dados con el mismo número en la sucesión y deje $X$ denotar el número de rollos que se requiere para ver los tres dados con el número de $6$ en la sucesión.

Entonces: $$Y\text{ and }\frac16X+\frac56(X+Y)=X+\frac56Y\text{ must have equal distribution.}\tag3$$

Aquí $\frac16$ es la probabilidad de que el evento de que la primera vez que tres dados dar el mismo número en la sucesión que mostrar el número de $6$ $\frac56$ es la probabilidad de que no muestran un número $6$.

$(3)$ se basa en la observación de que - si por primera vez tres de la igualdad de los números se muestran en sucesión - estamos listos si $6$ pasa a ser ese número y en realidad debe de empezar de nuevo (con $X$ lanza en nuestro bolsillo), si no.

Así nos encontramos con los $\mathbb EY=\mathbb EX+\frac56\mathbb EY$ o lo que es equivalente:$$\mathbb EX=\frac16\mathbb EY$$

Usted ya aprendió que $\mathbb EY=258$ y hacer uso de ese conocimiento se encontrar $$\mathbb EX=258/6=43$$ Esto confirma su pensamiento.