Comprensión de un sistema de dinámico de poblaciones de virus

Question

Estoy leyendo el libro: M. A. Novak, R. M. de Mayo: el Virus de la Dinámica: Principios Matemáticos de la Inmunología y la Virología. Oxford University Press, 2000.

Me encontré con algunos lugares que no entiendo. En el modelo, las células no infectadas reaccionar con el virus libre para dar lugar a las células infectadas; la constante de velocidad es $\beta$. Las células infectadas producen libre de viriones en la tasa de $k$. Las células no infectadas, libre de virus y células infectadas mueren en las tasas de $d$, $u$ y $a$, respectivamente. Las células no infectadas se reponen a la tasa de $\lambda$.

El esquema del modelo es:

Las ecuaciones del modelo son [eq. (3.1) p. 18 en el link]:

$$ \begin{alignat}{1} \dot{x} &= λ - dx - βxv,\\ \dot{y} &= βxv - ay, \\ \dot{v} &= ky - uv, \end{alignat} $$

donde $x$, $y$, y $v$ son las poblaciones de las células no infectadas, las células infectadas y los viriones.

El básico de la reproducción proporción, $R_0$ es el número de nuevos infectados células que surgen a partir de cualquier célula infectada cuando casi todas las células no infectadas (y el sistema está cerca de su equilibrio):

$$R_0= \frac{\beta \lambda k}{adu}$$

Lo que no entiendo es:

1. Se menciona que si $R_0<1$ el virus no se extienda, ya que cada célula infectada se producen, en promedio, menos de una célula infectada. Si empezamos con $N$ de las células infectadas, en promedio, esperamos que aproximadamente el ${\ln N}\over {\ln(1/R_0)}$ rondas de replicación antes de que el virus de la población se muere. ¿Cómo es esto ${\ln N}\over {\ln(1/R_0)}$ encontrado?

2. Si $R_0>1$, entonces el virus inicialmente a crecer de forma exponencial, y $r_0$ es la tasa de crecimiento exponencial de la población. Entonces se dice $r_0$ está dado por el mayor de la raíz de la ecuación $r_0^2+(a+u)r_0+au (1-R_0)=0$. ¿Cómo han llegado con esta ecuación?

3. Luego dicen que en la ecuación de $r_0^2+(a+u)r_0+au (1-R_0)=0$ si $u \gg a+r_0$ encontramos la aproximación $r_0=a(R_0-1)$. ¿Cómo es esto $r_0=a(R_0-1)$ obtenido?

Answer 1

Las ecuaciones están relacionados a las aproximaciones del proceso de infección de los virus.

1. Deje $F_n$ el número de las células infectadas en el paso de replicación $n$. Entonces, tenemos que $F_{n+1} \approx R_0 F_n$, $F_0=N$. Entonces podemos resolver esta relación de recurrencia para obtener $F_n = R_0^nN$. Queremos saber por qué $n$ obtenemos $F_n <1$. Así que solucionar $R_0^n N <1$$n$. Tomando logaritmos obtenemos que $$n\ln(R_0)+\ln(N) < 1$$
   restando y dividiendo por $\ln(R_0)$ (y recuerde que $ln(R_0) < 0$ desde $R_0 <1$, así que tenemos que cambiar el sentido de la desigualdad), llegamos a la $$n > \frac{-\ln(N)}{\ln(R_0)} = \frac{\ln(N)}{\ln \frac{1}{R_0}}$$

2. Aquí es mi mejor opcion para esto. Suponga que se inserte un solo virión en la población cuando está en equilibrio. Tenemos entonces que a medida que el tiempo avanza $v(t) = e^{r_0t}$. Conectando en el $\dot{v}$ ecuación da ese $ky=(r_0+u)e^{r_0t}$. La diferenciación de la $\dot{v}$ ecuación de nuevo da $$\ddot{v} + u\dot{v} = k\beta x v - a(ky).$$ El uso de la expresión anterior para $ky$ y el hecho de que $x \approx \frac{\lambda}{d}$ tenemos $$\ddot{v} + u\dot{v} - \frac{k \beta \lambda}{d}v = -a(r_0+u)e^{r_0t}.$$ Plug in $v = e^{r_0t}$, which then allows you to cancel the $e^{r_0t}$ from both sides and this gives $$r_0^2+ur_0- \frac{k \beta \lambda}{d} = -ar_0-au.$$ Thus $$r_0^2 + (u+a)r_0 + au-\frac{k\beta\lambda}{d}=0$$ Entonces, finalmente, nos factor de $au$ fuera de los términos constantes y el uso de la definición de $R_0$ conseguir $$r_0^2 + (u+a)r_0 + au (1-R_0) = 0.$$

3. Expanda la ecuación para obtener $r_0^2 + a r_0 + ur_0 + au(1-R_0) = 0$. Dividir ambos lados por $u$ da $$ r_0 \left( \frac{r_0+a}{u} \right) + r_0+a(1-R_0)=0$$ Desde $u \gg r_0+a$ tenemos que $\frac{r_0+a}{u} \ll 1$. desde que el líder término en la ecuación de arriba es tan pequeño que puede ser descuidado. De tirarla fuera da $$ r_0 + a(1-R_0) = 0 \Rightarrow r_0 = a(R_0-1).$$

Answer 2

Una forma alternativa de resolver el problema (2) el uso de algunos conocimientos en sistemas dinámicos:

Primero vamos a insertar nuestro conocimiento de estar cerca de los no infectados de equilibrio (con $x=\frac{λ}{d}$) en las ecuaciones diferenciales:

$$ \begin{alignat}{4} \dot{y} &=~& - ay &~+~& \frac{λβ}{d} v, \\ \dot{v} &=& ky &~-~& uv, \end{alignat} $$

Este es un sistema lineal de ecuaciones diferenciales, que se puede expresar como una matriz de vectores multiplicación (cuya matriz I denotan como $A$):

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a & \frac{λβ}{d} \\ k & -u \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix} =: Un \begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix} $$

Las soluciones a una ecuación diferencial son conocidos por ser de la forma:

$$ α_1 e^{ρ_1 t} w_1 + α_2 e^{ρ_2 t} w_2,$$

donde el $w_i$ son los vectores propios de a$A$, $ρ_i$ son los correspondientes autovalores y el $α_i$ son constantes determinadas por las condiciones iniciales. Ahora, el componente correspondiente a la mayor autovalor va a dominar a la otra, y así obtener un crecimiento exponencial con este autovalor como la tasa de crecimiento. (Como $v$ $y$ dependen unos de otros, todo crece con la misma velocidad.)

Así que, todo lo que queda por hacer es determinar el polinomio característico de a $A$ (cuyas raíces son los valores propios):

$$ p_A(r_0) = \det(r_0