¿Es un problema de Monty Hall modificado (puertas numeradas)?

Question

En una entrevista de trabajo, me hicieron esta pregunta:

Monty colocó un coche y dos cabras detrás de tres puertas idénticas (y las cosas no se mueven durante el juego). Recibes el premio que está detrás de la puerta que elegiste en la segunda ronda.

Elige la puerta número 1. Entonces, Monty abre la puerta número 3 y ves una cabra allí. Si quieres ganar un coche, ¿debes cambiar tu elección de la puerta nº 1 a la puerta nº 2?

He contestado: SÍ y me dijeron que estaba equivocado. El entrevistador me explicó, que la diferencia entre el problema clásico de MH y este problema es que este problema establece claramente, que Monty abre la puerta número 3, lo que reduce el espacio de estados y después de eso mi probabilidad es 50/50.

Sigo creyendo que la probabilidad de elegir la puerta correcta en el primer intento es de 1/3 y esta probabilidad no cambia por la información de que Monty abre la puerta número 3.

¿Me he perdido algo o el entrevistador se ha equivocado?

Answer 1

El entrevistador se equivoca al afirmar que Monty eligió "claramente" la puerta 3 y que, por lo tanto, las posibilidades son del 50-50. Monty eligió la puerta número 3 en este particular caso pero no dijo por qué .

El entrevistador tiene razón en que si no sabemos por qué Monty mostró la puerta número 3 (¿siempre muestra la puerta número 3 sin importar lo que haya detrás o lo que usted elija--siempre elige una puerta al azar que usted no eligió sin importar lo que haya detrás--siempre muestra una puerta con una cabra que usted no eligió? (Pero se equivoca al suponer que es 50-50). Tenemos que hacer una suposición pero... ¿qué suposiciones son válidas y cuáles no?

Aquí hay varias reglas posibles con las que Monty podría jugar:

Clásico: Monty siempre te muestra una cabra que no eliges. Estrategia: cambiar. 2 de 3 a tu favor.

Al azar: Monty escoge una puerta que tú no has escogido y esta vez resulta que al azar es una cabra. Estrategia: no importa. 2 de 4 si cambias o te quedas.

Enrevesado: Si eliges el coche Monty te mostrará una cabra con la esperanza de que asumas un juego clásico. Si eliges una cabra no te dará opción. Estrategia: quedarse. 100% a tu favor.

Mala suerte: Monty siempre te enseñará el coche si puede. Sólo te enseñará una cabra si eliges el coche. Estrategia: quédate. 100% a tu favor.

Warped: Hay una cabra con la cola manchada. Monty siempre te mostrará una puerta que no hayas elegido y que no tenga la cabra de cola manchada. Estrategia: quédate. Si cambias es 2 en 3 que obtendrás la cabra con la cola manchada. Así que es 2 en 3 que si no cambias obtendrás el coche.

Jerárquico: Si eliges la cabra con cola manchada, Monty te mostrará la cabra sin cola manchada. Si eliges la cabra sin la cola manchada, Monty te mostrará el coche. Si eliges el coche, Monty te mostrará la cabra sin la cola manchada. Estrategia: 50-50.

etc.

¿Cuál es el más probable que esté jugando? No podemos decirlo. Y obviamente estas no son las únicas estrategias.

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En realidad, lo que sería justo es que se redactara así:

Usted es un programa de juegos y donde usted tiene la oportunidad de elegir un coche o dos cabras. El objetivo de los anfitriones es darte una cabra y evitar que elijas un coche. Eliges la puerta 1 y él te muestra que la puerta 3 tiene una cabra y te ofrece la oportunidad de cambiar a la puerta 2. ¿Debes hacerlo?

Respuesta: no importa. Sea cual sea la puerta que elijas, él pondrá la cabra detrás de ella después de que la elijas.

Answer 2

Yo diría que el entrevistador fue al menos engañoso.

las reglas deben ser claras. la regla estándar es: Monty abre una puerta sin valor de las dos que no elegiste, en el escenario de que las dos puertas no elegidas no tienen valor, él elige entre ellas con igual probabilidad.

Tal vez su entrevistador tenía otras reglas en mente. Es diferente, por ejemplo, si el propio Monty no tiene ni idea de qué puertas son inútiles. Es diferente si él siempre abre la puerta $3$ independientemente de su contenido (aunque ¿qué hace si has elegido puerta $3$ ?).

En cualquier caso, si las normas no son claras, no hay forma de responder a la pregunta.

Answer 3

Esto es lo que creo que está ocurriendo.

En el problema clásico de MH, se escoge una puerta, digamos la número 1, y entonces Monty abre alguna otra puerta que definitivamente tiene una cabra detrás. Esta tabla de la página Wiki que supone que has elegido la puerta nº 1 y que Monty siempre revela una cabra, resume muy bien los escenarios:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Behind door 1} & \textbf{Behind door 2} & \textbf{Behind door 3} & \textbf{Result if stay} & \textbf{Result if switch}\\ \hline \text{Car} & \text{Goat} & \text{Goat} & \text{Win} & \text{Lose}\\ \hline \text{Goat} & \text{Car} & \text{Goat} & \text{Lose} & \text{Win}\\ \hline \text{Goat} & \text{Goat} & \text{Car} & \text{Lose} & \text{Win}\\ \hline \end{array}

Supongamos que eliges la puerta 1 y Monty siempre escoge la puerta #3, independientemente de lo que haya detrás de la puerta #3. Si la puerta #3 se abre y ves el coche, significa que pierdes. Pero ese no es el escenario que dio el entrevistador. El entrevistador dijo que la puerta se abrió y se reveló una cabra. Eso significa que los únicos escenarios aplicables de la tabla anterior son las filas 1 y 2 (donde la fila 1 es la primera fila después de la fila de la cabecera), porque sólo esas filas corresponden a que haya una cabra detrás de la puerta #3. Basándonos en esto, ¿ves cómo se convierte en un 50/50?

Si esto es realmente lo que pretendía el entrevistador, entonces creo que éste debería haber sido más claro al decir que Monty siempre abre la puerta #3 independientemente de lo que esconda.

Answer 4

Las motivaciones de Monty importan: por qué Monty escoge la puerta para abrir, e incluso por qué Monty eligió abrir una puerta, la materia.

Si Monty siempre abre la puerta nº 3 independientemente de que contenga una cabra o un coche, y esta vez resulta que ves una cabra, tus posibilidades tras el intercambio siguen siendo del 50-50.

Si Monty sólo abre la puerta nº 3 y ofrece un intercambio sólo si contiene una cabra (si contiene un coche, Monty no abre una puerta ni ofrece un intercambio), tus posibilidades tras el intercambio siguen siendo del 50-50.

Si Monty sólo abre la puerta #3 y ofrece un intercambio sólo si contiene una cabra y su puerta contiene un coche, sus posibilidades después del intercambio son del 0%.

Si Monty sólo abre la puerta #3 y ofrece un intercambio sólo si contiene una cabra y su puerta contiene una cabra, sus posibilidades después del intercambio son del 100%.

Si Monty siempre abre una puerta, y ésta siempre contiene una cabra, y esta vez Monty abre la puerta #3, sus posibilidades después del intercambio son 2/3. Esto equivale a la pregunta "clásica" de Monty.

Todas y cada una de las situaciones anteriores son coherentes con la pregunta tal y como la has descrito. Es posible que la persona que hizo la pregunta fuera más específica que tú, y que los detalles omitidos hagan más o menos probable una de las posibilidades anteriores.

Pero dada la vaga situación que has descrito, cualquier probabilidad del 0% al 100% podría resultar del intercambio. Su rompecabezas está poco especificado.

Es posible que el que preguntaba se hiciera el listo y ofreciera un rompecabezas poco específico con un argumento demasiado seguro después para ver cómo lo manejabas. Es más probable que tengan un rompecabezas mal escrito y una certeza excesiva sobre cómo es diferente al Monty estándar y que no haya nada inteligente.

Answer 5

La razón de Monty para abrir la puerta número 3 (o cualquier puerta) en la segunda ronda no importa. Con el problema tal y como está planteado (1 coche/2 cabras y las ubicaciones no pueden cambiar) entonces si ves una cabra en la ronda 2, deberías siempre interruptor.

En la primera ronda tienes 2/3 de posibilidades de elegir una cabra. De forma equivalente, tienes 2/3 de posibilidades de que haya un coche y una cabra detrás de las otras dos puertas.
La elección de Monty en la segunda ronda no cambia eso. Si eligió una cabra en la primera ronda (2/3 de posibilidades), se siempre ganar si se cambia (ya que la otra cabra ha sido eliminada). Si, por alguna razón, se te muestra una cabra en la segunda ronda, entonces debes cambiar.

El cambio te da un 100% de posibilidades de ganar en el caso de elegir una cabra en la ronda 1 y ver una cabra en la ronda 2. El cambio le da un 100% de posibilidades de perder en el caso de elegir el coche en la primera ronda y ver una cabra en la segunda. Dado que el problema establece que vemos una cabra en la ronda 2, elige el escenario con la mayor probabilidad (2/3 de probabilidad de elegir una cabra en la ronda 1).

La razón de Monty para elegir la puerta no importa porque no tiene efecto en la probabilidad de que hayas elegido una cabra en la primera ronda. Y, mientras te muestre una cabra en la segunda ronda, no importa por qué lo hizo. (La única alternativa sería que Monty te mostrara un coche, en cuyo caso tu elección no importa, a menos que te importe la cabra que te toque, ya que en ese caso no puedes ganar el coche).

Ahora bien, como ingeniero de sistemas, me gustaría objetar la forma en que está redactada la segunda frase de la pregunta: "Si quieres ganar un coche, deberías cambiar". Si se lee como "¿Debería cambiar para obtener un 100% de posibilidades de ganar?", entonces no hay respuesta a la pregunta, ninguna de las dos opciones producirá ese resultado. Una mejor redacción sería: "¿Cambiar tu elección aumentará tus posibilidades de ganar el coche?", en cuyo caso tenías razón y la respuesta debería ser "Sí".

Si me ocurriera esta situación durante una entrevista, ya que creo que también estás entrevistando a tu nuevo jefe, expondría tranquilamente mi razonamiento (como el anterior) y vería cómo reaccionan. La mejor reacción posible sería: "Eh, creo que puedes tener razón. Tendré que investigar un poco más". Me preocuparía mucho si parecieran molestos al ser desafiados, o se negaran a considerar la posibilidad de que pudieran estar equivocados. Un buen directivo quiere contratar a personas más inteligentes que él y debería estar dispuesto a escucharlas sin que se sientan amenazadas.