Encuentre el resto cuando $ 12!^{14!} +1 $ se divide por $13$

Question

Encuentre el resto cuando $ 12!^{14!} +1 $ se divide por $13$

Me enfrenté a este problema en uno de mis últimos exámenes. Es una reminiscencia de Teorema de Wilson . Así que estaba convencido de que $12! \equiv -1 \pmod {13} $ después de esto hice algunas pruebas en el exponente y parece que $12!^{n!} +1\equiv 2\pmod {13}\forall n \in \mathbb{N}$ .

Después de volver a casa hice más pruebas y me di cuenta de que si $p$ es primo entonces $(p-1)!^{n!} +1\equiv 2\pmod {p}\forall n \in \mathbb{N}$ .

Me preguntaba si este resultado es cierto, en caso afirmativo, ¿cómo demostrarlo? Si no es así, ¿cuál es la manera formal de resolver el problema madre?

Answer 1

Por Teorema de Wilson, $12!\equiv -1\pmod{13}$ . Por lo tanto, para cualquier incluso entero $m$ , $(12!)^m+1\equiv (-1)^m+1\equiv 2\pmod{13}$ . Desde $0\le 2\lt 13$ se deduce que $2$ es el resto cuando $(12!)^m+1$ se divide por $13$ .

Si $m$ es impar el mismo razonamiento muestra que $(12!)^m+1\equiv 0\pmod{13}$ .

Y $13$ no es especialmente afortunado ni desafortunado. El mismo resultado, con la misma prueba, es válido si $13$ se sustituye por cualquier primo impar $p$ y $12$ se sustituye por $p-1$ .

El primer $2$ es ligeramente diferente. Si $m$ es impar o incluso, $(1)^m +1\equiv 2\pmod{2}$ pero el resto es $0$ no $2$ .

Answer 2

Sugerencia $\ $ Unificando a los pequeños Fermat y Wilson: $\rm C\:\!!^{\:\!C}\!\equiv 1\ mod\:\ C\!+\!1\:$ primo. Elige una prueba.