Tengo dos altamente acoplados a las preguntas relativas a holomorphic línea de paquetes, y así voy a seguir adelante y pedir juntos. La primera se refiere a la línea de paquetes en $\mathbb{CP}^1$ y las otras preocupaciones de la línea de paquetes en un complejo de toro (de curva elíptica).
En una superficie de Riemann $X$, siempre puedo definir un llamado "punto de paquete", para usar la terminología de Gunning del libro sobre el vector de paquetes (Princeton notas de la serie). Siempre se puede elegir un punto de $p$ y definir un holomorphic línea bundle $N_p$ grado $1$, cuyo valor distinto de cero holomorphic secciones desaparecen a fin de $1$ $p$ y se nonvanishing en otros lugares.
1. En $X=\mathbb{CP}^1$, sólo hay una línea, tal paquete hasta isomorfismo, y llamamos a esta $\mathcal O(1)$, el hyperplane paquete. Puedo probar esto en la forma estándar, usando la larga secuencia en la cohomology asociados a la exponencial de la secuencia, es decir, $H^1(\mathcal O^*)\cong H^2(\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ sobre la línea proyectiva. (La primera isomorfismo es el grado de mapa y el segundo viene del hecho de que el subyacente espacio topológico compacto y real $2$-dimensional.)
Pero hay una manera de ver más directamente que si $N_p$ $N_q$ son punto dos paquetes en $\mathbb{CP}^1$, entonces deben ser isomorfos, incluso cuando $p$ $q$ son distintos? Pensé acerca de la rotación de la subyacente $2$-esfera a lo largo de la zona ecuatorial del círculo conectando $p$$q$, pero, ¿la rotación de la esfera se eleva a un isomorfismo de grupos (y es holomorphic)? Hay una mejor manera de ver el isomorfismo?
2. En una curva elíptica $X$, el isomorfismo clases de holomorphic línea de paquetes de un determinado grado son parametrizada por otro de curva elíptica, el Jacobiano. Si tomamos el Jacobiano de grado $1$ línea de paquetes, y nos tomamos un punto de $p\in X$, entonces obtenemos un mapa de $X$ a el Jacobiano mediante el envío de $p$ a la clase $[N_p]$ pertenecientes al punto correspondiente paquete. Este mapa es un isomorfismo. Por qué? En otras palabras, si $p$ $q$ son distintos puntos en $X$, entonces ¿por qué se $N_p$ $N_q$ no isomorfos como holomorphic línea de paquetes? (De nuevo, no quiero usar el cohomology de la exponencial de la secuencia. Me da que el Jacobiano por un determinado grado es un toro de la compleja dimensión de $1$, el cociente de una copia de $\mathbb C$ por un entramado $\mathbb Z^2$, y eso es genial. Pero yo quiero ver directamente ¿por qué las dos de la línea de paquetes no puede admitir un isomorfismo entre ellos.)
