Pregunta con respecto a la prueba de una afirmación topológica

Question

El profesor de la Topología de curso que estoy tomando definido los siguientes: Dado un espacio topológico $X$ decimos que:

1. $X$ es débilmente localmente compacto si para todas las $x\in X$ existe un compacto nbhd.

2. $X$ está fuertemente localmente compacto si cada nbhd de $x$ contiene un compacto nbhd de $x$ .

Luego nos hizo la siguiente afirmación: Una débil localmente compacto (wlc) espacio de Hausdorff es fuertemente localmente compacto.

Brevemente, la prueba fue de la siguiente manera:

1. Dado $U$ un nbhd de $x\in X$ desde $X$ es wlc hay un pacto nbhd de $x$ , $C\subseteq X$.

2. Desde $U,C$ ambos son nbhds de $x$ $U\cap C$ es también un nbhd de $x$ y por lo tanto no es un conjunto abierto $V\subseteq X$ tal que $x\in V\subseteq U\cap C$ .

3. Desde $C$ es un compacto Hausdorff espacio (Hausdorff es hereditaria) sabemos $C$ es regular.

4. Ya que la regularidad es hereditaria y $V\subseteq C$ sabemos $V$ también es regular y por lo tanto no es un conjunto abierto $W\subseteq V$ tal que $x\in W\subseteq\overline{W}\subseteq V\subseteq C$ .

5. Desde $C$ es compacto y $\overline{W}$ está cerrado en $C$ sabemos que $\overline{W}$ también es compacto.

6. Finalmente, $x\in W\subseteq\overline{W}\subseteq V\subseteq U$ y por lo tanto $\overline{W}$ es un compacto de nbhd de $x$ contenida en $U$ .

El profesor señaló que es importante tener en cuenta que la prueba se cuelga en el hecho de que el cierre de $W$ $V$ $C$ es el mismo. Es decir, ya que sólo podemos deducir la compacidad de $\overline{W}$ desde que se cierra en $C$. Sin embargo, hemos utilizado la regularidad de $V$ a fin de encontrar a $W$, por lo que el cierre de $W$ es relativa a la topología en $V$ e no $C$. También señaló que, de hecho, de la forma en que se llevó a cabo la construcción de la clausura de $W$ es el mismo en todos los grupos, en el que está contenido, que es $\overline{W}_{X}=\overline{W}_{C}=\overline{W}_{U}=\overline{W}_{V}$ (subcadena de marca cierre de la relativa a que el espacio).

Mi pregunta es ¿por qué es verdad que $\overline{W}_{X}=\overline{W}_{C}=\overline{W}_{U}=\overline{W}_{V}$ ?

Answer 1

No hay una fórmula útil: Si $A$ es un subconjunto de a $X$ $W$ es otro subconjunto, a continuación,$\text{cl}_A(W\cap A)=\text{cl}_X(W\cap A)\cap A$. Así que vamos a $A$ $V$ en su ejemplo.
Si tomamos el cierre de $W$ con respecto al $C$, $\text{cl}_C(W)=\text{cl}_X(W)$ desde $C$ es cerrado en $X$.
Por otro lado $\text{cl}_V(W)=\text{cl}_X(W)\cap V$ que es sólo $\text{cl}_X(W)$ desde $W$ fue elegido tener su cierre contenida en $V$.
Finalmente, $\text{cl}_U(W)=\text{cl}_X(W)\cap U=\text{cl}_X(W)$ desde $\text{cl}(W)\subset U$.

También debo mencionar que la fórmula anterior se simplifica una vez más si $A$ está abierto. En este caso tenemos a $\text{cl}_A(W\cap A)=\text{cl}_X(W\cap A)\cap A=\text{cl}_X(W)\cap A$. El uso de este las dos últimas igualdades siga automáticamente desde $U$ $V$ estaban abiertos.