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¿Por qué lo hizo Fermat importa caracterizar primes en el % de forma $p=x^{2}+ny^{2}$?

Actualmente estoy tratando de averiguar la génesis de la cuadrática reprocidad mediante el uso de Cox y Lemmermeyers libros. Yo también tengo una copia de algunas de las obras de Fermat, pero está en alemán. Parece que hay algún tipo de conexión con la geometría básica, pero realmente puedo averiguar.

He hecho una oberservation y era que si $p=x^{2}+y^{2}$ y desde $$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac \pm bd)^{2}+(ad \pm bc)^{2}$$, a continuación, podemos descomponer la hipotenusa del teorema de Pitágoras utilizando fundamental theoreom de la aritmética. Esto sólo se aplica a los triángulos rectángulos y Fermat costuras para lidiar con puntos suspensivos. Mi propia respuesta, si es válido, por tanto, no es satisfactoria.

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A la pregunta del título es muy interesante, pero es posible que desee considerar la posibilidad de enfocar su texto un poco. Usted parece estar pidiendo a tres preguntas al mismo tiempo, no están claramente delineadas.

  1. A la pregunta del título: ¿por qué Fermat atención acerca de la representación de los números primos por estas formas cuadráticas?
  2. ¿Cuáles son los orígenes de la reciprocidad cuadrática?
  3. No entiendo a la tercera pregunta, pero supongo que algo así como una factorización para $x^2+ny^2$ similar a la que proporcionan en su post (que usted está buscando Brahmagupta de la identidad).

Las dos primeras preguntas, y lo más probable es que el tercero, son respondidas en A. Weil libro Teoría de los números: un Enfoque a Través de la Historia. Más específicamente, las Secciones V a través VIII de Fermat capítulo se describe de Fermat (y de otros) los intentos de ampliar Fermat resultado de las sumas de cuadrados para más general de las formas $x^2+ny^2$ en un intento de encontrar números primos grandes y más conceptualmente a entender algunos pasajes confusos en Diophantus' Arithmetica (que es la inspiración para la mayoría de Fermat trabajo en el primer lugar). Algunas transformaciones Diophantus da por sentado llegar a depender de las propiedades de la formas cuadráticas de la forma$x^2+2y^2$$x^2+43y^2$.

Fermat observación de que la expressibility de un primer como una suma de los cuadrados de los que sólo depende de la congruencia de las propiedades de la prime le llevó a pedir a la pregunta correspondiente para otras formas (recuerde: durante su estudio de Arithmetica y en relación a la búsqueda de grandes números primos): ¿el candidato de la expresión de $p=x^2+2y^2$ solo depende de una congruencia $p$ tiene que satisfacer? De manera más general, qué $p=x^2+ny^2$ solo depende de una congruencia relativa a $n$? Esta pregunta, aunque más difíciles de la ley de la reciprocidad, formaron uno de los (muchos!) semillas para la formulación de la reciprocidad cuadrática. Pero no fue Fermat quien hizo estas conexiones (Fermat no estudiar la forma general de la $x^2+ny^2$), fue de Euler. En Euler capítulo de Weil libro, las secciones VIII y, además, describir de Euler análisis minucioso de estas formas cuadráticas, su encuentro con lo que llamamos Dirichlet personajes de hoy y después de un tiempo muy largo, una formulación de la ley de la reciprocidad cuadrática (junto con la de Legendre). En particular, debe leer muy cuidadosamente Legendre del capítulo, porque aquí es donde todos los hilos referentes a la reciprocidad cuadrática vienen juntos en Weil libro.

Weil libro está bien escrito, contiene una gran cantidad de datos históricos a partir de la cual yo simplemente (y quizás un tanto imprecisa) de la muestra para la respuesta, y le sugiero que lea cuidadosamente para responder a sus preguntas en detalle.

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