¿Definición de casco convexo y contraejemplo?

Question

El casco convexo de un conjunto de $C$ es $$conv(C) = \{\theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \cdots + \theta_k x_k: x_i \in C,\theta_i \ge 0, \sum \theta_i = 1, k=1, 2, \ldots \}$ $

Me pregunto por qué no es suficiente tomar $k=2$ en la definición. ¿Hay un ejemplo simple de un conjunto de $C$ para que el conjunto de $$\{\theta_1x_1 + \theta_2x_2: x_1,x_2 \in C,\theta_1, \theta_2 \ge 0, \theta_1 +\theta_2 = 1\}$ $ no es convexo?

Answer 1

Ninguna de las dos definiciones no son equivalentes.

Un ejemplo muy simple contador que $x_1 \neq x_2 \neq x_3 \in \mathbb R^2$ (y también asumir que no son colineales). Entonces nuestro contraejemplo es el conjunto de $C=\{x_1,x_2,x_3\}$. Se denotan por $conv2(C)$ su segunda definición de "convexa". A continuación gráficamente obtenemos (culpa mis habilidades gráficas para las esquinas redondeadas):

Answer 2

Tomar para $C$ tres puntos de $x_1, x_2, x_3$ en el plano que forma un triángulo, es decir, los tres puntos no están mintiendo en la misma línea.

Si usted toma para $$conv(C) = \{\lambda x_i + (1-\lambda) x_j : \lambda \in [0,1], \ i,j \in \{1,2,3\} \}$$ you'll get for $conv(C)$ the set of segments joining the $3$ puntos, es decir, el "triángulo", no es el punto interior del triángulo. Esto no es lo que se espera para el convex hull.

Esta es la razón por la que usted necesita para tomar combinaciones convexas de finito de puntos, no sólo de dos puntos.

Sin embargo, es cierto que se puede obtener de un número finito de combinación convexa por la iteración de un número finito de tiempo convexo combinación con sólo dos puntos.