5 votos

¿Que la función crece a un ritmo más rápido? $n!$ $2^{n^2}$

Tengo dos funciones:

$n!$

$2^{n^{2}}$

¿Cuál es la diferencia entre el crecimiento de estos dos? Mi pensamiento es que $2^{n^2}$ crece mucho más rápido que $n!$.

6voto

Dr. MV Puntos 34555

SUGERENCIA:

$$\log 2^{n^2}=n^2\log 2$$

y

$$\log n!<n\log n$$

4voto

Victor Puntos 1479

Crear una secuencia $\{a_n\} = \frac{2^{n^2}}{n!}$ y que $n$ get infinitamente grande. A utilizando la prueba de razón: $ \frac {a_ {n}} {a_ {n-1}} = \frac {2 ^ {n ^ 2} / n!} {2^{(n-1)^2}/(n-1).} = \frac {2 ^ {n ^ 2}} {n2 ^ {(n-1) ^ 2}} = \frac {2 ^ {2n-1}} {n}. $$

¿Qué puede decir acerca de esto?

2voto

Quang Hoang Puntos 8066

Sabemos que $2^{n}$ crece mucho más rápido que $n$, $$2^{n^2}>2^{1+2+\cdots+n}$ $ crece mucho más rápido que $$n!=1\cdot 2\cdots n.$ $

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