Tener en cuenta
$$\sum_{k=2}^{\infty}{(-1)^k\over k+1}\cdot{ \lceil \log_2(k) \rceil}=1-2\gamma\tag1$$
Cómo ver que $(1)$ converge a $1-2\gamma?$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El dado de la serie es igual a $$ \sum_{k\geq 2}\frac{(-1)^k}{k+1}+\sum_{k\geq 3}\frac{(-1)^k}{k+1}+\sum_{k\geq 7}\frac{(-1)^k}{k+1}+\ldots \tag{1}$$ o $$ \log(2)-\frac{1}{2}+\int_{0}^{1}\left[\sum_{h\geq 2}\sum_{k\geq 2^h-1}(-x)^k\right]\,dx \tag{2}$$ por lo tanto la demanda se reduce a probar que el catalán integral de$^{(*)}$ $$ \gamma=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\sum_{n\geq 1}x^{2^n-1}\,dx \tag{3}$$ donde la RHS de $(3)$ es igual a $$ \int_{0}^{1}\frac{1}{x}\sum_{m\geq 0}(-1)^m x^m \sum_{n\geq 1}x^{2^n}\,dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\sum_{m\geq 2} r(m) x^m\tag{4}$$ con $r(m)$ siendo la diferencia entre el número de maneras en que podemos representar a $m$ $2^a+2b$ y el número de maneras en que podemos representar a $m$$2^a+(2b+1)$$a\geq 1$$b\geq 0$.
$(*)$ La página vinculada se muestra una derivación, $(24)\to(29)$, en función de Euler método de aceleración de la serie.
