Tiene un nombre: Si un impar prime $p$ no divide $a$ entonces $p$ divide $a^n + 1$ o $a^n - 1$

Question

Después de ver y hacer un montón de pruebas como "Para todos $a$ en los números naturales, entonces si $7$ no divide $a$ entonces $7$ divide $a^3+1$ o $a^3-1$ " Conjeturé lo siguiente, pero me quedé atascado en probarlo. Me gustaría saber si tiene un nombre real, o si se trata de algo bastante trivial y sin sentido.

Dado un primo $p$ de la forma $2n+1$ para todos $a$ en los números naturales si $p$ no divide $a$ entonces $p$ divide $a^n+1$ o $a^n-1$ .

*Asumir que no es trivial $a$

Muchas gracias.

Answer 1

Esto es bien conocido. Dejemos que $p = 2n + 1$ sea un primo impar. Entonces, se sabe que si $\gcd(a,p) = 1$ entonces $a^{p-1} = a^{2n} \equiv 1 \pmod{p}$ , por El pequeño teorema de Fermat . Por lo tanto, $(a^n)^2 \equiv 1 \pmod{p}$ para que $a^n \equiv \pm 1 \pmod{p}$ .

Es necesario saber que $x^2 \equiv 1 \pmod{p}$ tiene exactamente dos soluciones cuando $p > 2$ es primo, pero esto es una consecuencia de $\mathbb{Z}_p$ (El enteros mod $p$ ) siendo un campo (finito). Cuando $p = 2$ tenemos $1 \equiv -1 \pmod{2}$ para que $x^2 \equiv 1 \pmod{p}$ sólo tiene una solución en este caso.