Puede alguien ofrecer un ejemplo de una distribución unimodal, que tiene una asimetría de cero, pero que no es simétrica?

Question

En Mayo de 2010, de Wikipedia usuario Mcorazao añadido una frase a la asimetría en el artículo que "el valor cero indica que los valores son relativamente uniformemente distribuidas a ambos lados de la media, normalmente, pero no necesariamente implica una distribución simétrica." Sin embargo, la página de la wiki no tiene ejemplos reales de las distribuciones que romper esta regla. Buscar en google "ejemplo asimétrica distribuciones con cero asimetría" también no da ejemplos reales, al menos en los primeros 20 resultados.

Utilizando la definición que el sesgo es calculado por $ \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$, y la R de la fórmula sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3), puedo construir un pequeño, distribución arbitraria para hacer la asimetría de baja. Por ejemplo, la distribución de x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) los rendimientos de un sesgo de $-5.64947*10^{-5}$. Pero esto es una pequeña muestra y por otra parte la desviación de la simetría no es grande. Por lo tanto, es posible construir una mayor distribución con un pico que es altamente asimétrica, pero todavía tiene una asimetría de casi cero?

Answer 1

Considere la posibilidad de distribuciones discretas. Uno que sea compatible en $k$ valores $x_1, x_2,\ldots, x_k$ es determinado por el no-negativo probabilidades de $p_1, p_2,\ldots, p_k$ a la condición de que (a) se suma a 0 y (b) la asimetría es igual a 0. Que deja a $k-2$ grados de libertad. Podemos tener la esperanza de encontrar soluciones que son unimodales.

Para hacer esto más fácil, he buscado soluciones soportadas en $\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$ con un singular modo en $0$, cero significa, y cero asimetría. Uno de ellos es $(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$.

Se puede ver que es asimétrica.

He aquí una más, obviamente, asimétrica solución con $\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$:

Ahora es obvio lo que está pasando: debido a que la media es igual a $0$, los valores negativos que contribuyen $(-3)^3=-27$ $18 \times (-1)^3=-18$ para el tercer momento, mientras que los valores positivos contribuir $4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$, exactamente el equilibrio de las aportaciones negativas. Podemos tener una distribución simétrica alrededor de $0$,$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$, y a cambio de un poco de masa de$+1$$+2$, un poco de masa de$+1$$-1$, y una pequeña cantidad de la masa hacia abajo a $-3$, manteniendo la media en $0$ y la asimetría en $0$ como bueno, mientras que la creación de una asimetría. El mismo enfoque a trabajar para mantener a cero significa cero y la asimetría de una distribución continua, mientras que lo que es asimétrica; si no estamos demasiado agresivo con la masa de cambio, permanecerá unimodal.

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Editar

Porque el problema sigue saliendo, vamos a dar un ejemplo claro con distribuciones continuas. Pedro Flom tenido una buena idea: mira las mezclas de las normales. Una mezcla de dos normales no hacer: cuando su asimetría se desvanece, va a ser simétrica. El siguiente caso más simple es una mezcla de tres normales.

Las mezclas de tres normales, después de una elección adecuada de la ubicación y la escala, dependen de seis reales de los parámetros y por lo tanto debe tener más que suficiente flexibilidad para producir una forma asimétrica, cero-la asimetría de la solución. De encontrar alguna, necesitamos saber cómo calcular skewnesses de las mezclas de las normales. Entre estos, se buscará que son unimodales (es posible que no haya ninguno).

Ahora, en general, el $r^\text{th}$ (no central) momento de una distribución normal estándar es cero cuando $r$ es impar y lo contrario es igual a $2^{r/2}\Gamma(\frac{1-r}{2})/\sqrt{\pi}$. Cuando tenemos que cambiar la escala de distribución normal estándar para tener una desviación estándar de $\sigma$, $r^\text{th}$ momento se multiplica por $\sigma^r$. Cuando pasamos de cualquier distribución por $\mu$, el nuevo $r^\text{th}$ momento puede ser expresada en términos de los momentos, hasta e incluyendo la $r$. El momento de una mezcla de distribuciones (que es un promedio ponderado de ellos) es el mismo promedio ponderado de los momentos individuales. Finalmente, la asimetría es cero exactamente cuando el tercer momento central es cero, y esto es fácilmente calculada en términos de los tres primeros momentos.

Esto nos da una expresión algebraica ataque al problema. Una solución que he encontrado es una mezcla a partes iguales de los tres normales con los parámetros de $(\mu, \sigma)$ igual a $(0,1)$, $(1/2,1)$, y $(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$. Su media es igual a $(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$. Esta imagen muestra el pdf en azul y el pdf de la distribución volcó sobre su media en rojo. En que difieren muestra que ambos son asimétricas. (El modo de aproximadamente $0.0519216$, igual a la media de $1/6$.) Ambos tienen cero por la asimetría de la construcción.

Las parcelas indican que estos son unimodales. (Usted puede comprobar utilizando el Cálculo para encontrar los máximos locales.)

Answer 2

Cero de la asimetría, necesitamos $$ \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Grande] = 0 $$ o, de manera equivalente, $$ \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Grande | X \leq \mu \Big] + \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Grande | X \gt \mu \Big] = 0. $$

Ahora, para los que recibieron la media y la varianza, elija cualquiera de los dos distribuciones $Y$ $Z$ con masa cero en el lado derecho de la $\mu$ y $$ \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{Y-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Grande] = \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{Z-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Grande] $$ y definir $X$ a coincidir $Y$ si se deja de $\mu$ $(\mu - Z)$ lo contrario. (No sé exactamente la notación para esto, cualquier persona de cuidado para ayudar?)

La distribución resultante será unimodal si el Pdf de las $Y$ $Z$ están en aumento, a la izquierda de $\mu$ (además de ser el cero a la derecha de $\mu$).

Answer 3

Seguro. Intente esto:

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

(Que hizo las cosas difíciles ya!)