Singularidad de la secuencia exacta larga en homología

Question

Hace unos días unos colegas míos y yo escuchamos una charla sobre secuencias espectrales y una "aplicación" de las mismas era la demostración de que cualquier secuencia exacta corta (s.e.s.) $$0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$$ de complejos de cadenas induce una secuencia exacta larga (l.e.s.) $$\cdots \to H_n(A) \to H_n(B) \to H_n(C) \to H_{n-1}(A) \to \cdots$$ Por supuesto, esto tiene poco o nada que ver con las secuencias espectrales y en realidad no es más que la habitual prueba de persecución de diagramas disfrazada y, en particular, los tres tipos de mapas que se construyen aquí son exactamente los mapas habituales $H_n(f)$ , $H_n(g)$ y el homomorfismo de conexión $\delta_n$ . La cuestión que se planteó entonces fue si se podía demostrar, y cómo, que estos son los mapas sin tener que volver a hacer la persecución de los diagramas.

En otras palabras: ¿Es la secuencia larga exacta única en un sentido apropiado? Por ejemplo, ¿es el único functor (hasta el isomorfismo natural, por supuesto) {s.e.s. de complejos de cadenas} $\to$ {l.e.s. de grupos abelianos} que tiene $\ldots,H_n(A),H_n(B),H_n(C),H_{n-1}(A),\ldots$ como objetos en la secuencia larga exacta?

Answer 1

Supongamos que $F$ lleva los complejos de cadenas de espacios vectoriales a los complejos de cadenas de espacios vectoriales. Supongamos que los objetos de $F(0 \to A^{\bullet} \to B^{\bullet} \to C^{\bullet} \to 0)$ son $H^0(A)$ , $H^0(B)$ , $H^0(C)$ , $H^1(A)$ etc. y que los mapas $H^i(A) \to H^i(B)$ y $H^i(B) \to H^i(C)$ son los estándar. Supongamos que $F$ conmuta con la suma directa y el isomorfismo. Entonces $F$ es la elección estándar hasta elegir una colección de escalares no nulos $c_i$ para reescalar el mapa de límites $H^i(C) \to H^{i+1}(A)$ por. Si requiere además que $F$ conmuta con los desplazamientos, entonces sólo tenemos una elección global del escalar.

Esto se debe a que cualquier s.e.s. de complejos de espacios vectoriales es (no canónicamente) una suma directa de complejos de cinco tipos. Aquí escribo los complejos $A$ , $B$ y $C$ horizontalmente y los mapas entre ellos verticalmente.

$$\begin{pmatrix} k & \rightarrow & k \\ \downarrow & & \downarrow \\ k & \rightarrow & k \\ & & \\ 0 & & 0 \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & & 0 \\ & & \\ k & \rightarrow & k \\ \downarrow & & \downarrow \\ k & \rightarrow & k \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} k \\ \downarrow \\ k \\ \\ 0 \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 \\ \\ k \\ \downarrow \\ k \\ \end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix} 0 & & k \\ & & \downarrow \\ k & \rightarrow & k \\ \downarrow & & \\ k & & 0 \\ \end{pmatrix}$$

Así que $F$ se determina por su comportamiento en estos cinco complejos. En los dos primeros, $H^{\ast}=0$ Así que $F$ da el complejo cero. En el tercero y el cuarto, los únicos mapas no nulos son $H^i(A) \to H^i(B)$ y $H^i(B) \to H^i(C)$ respectivamente, y estamos asumiendo que los conocemos. Así que todo lo que tenemos que hacer es determinar qué $F$ hace en el quinto caso, y esto es sólo una elección de escalar.

Hay una elección natural del escalar, dada por la composición del mapa horizontal y los inversos de los mapas verticales, pero no creo que puedas saber que tu definición favorita utiliza esta elección natural sin comprobarlo realmente.