Si entiendo mi álgebra correctamente cada campo es un anillo y cada anillo es un grupo, así que a la hora de definir los módulos a través de los anillos y espacios vectoriales sobre los campos, entonces tenemos que cada espacio vectorial es un módulo?
Un álgebra lineal se define en Hoffman del libro de la siguiente manera.
Deje $F$ ser un campo. Un álgebra lineal sobre el campo $F$ es un espacio vectorial $\mathcal{A}$ $F$ con una operación adicional llamado la multiplicación de los vectores que assosciates con cada par de vectores $\alpha, \beta \in \mathcal{A}$ un vector $\alpha \beta \in \mathcal{A}$ llama el producto de tal manera que,
- La multiplicación es asociativa: $\alpha (\beta \gamma) = (\alpha \beta) \gamma$
- La multiplicación es distributiva respecto a la suma: $\alpha(\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma$ $(\alpha + \beta)\gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$
- Para cada uno de los escalares c en $F$: $c(\alpha \beta) = (c \alpha)\beta = \alpha(c \beta)$
Hay una más reciente plazo, por lo que Hoffman significa por un álgebra lineal y ¿cómo encajan en el grupo de anillo campo de la jerarquía? Por último, si se define un espacio vectorial sobre un campo y un módulo a través de un anillo, lo que se define sobre un grupo de esta misma manera?
Para reiterar, tengo tres preguntas,
- Es todo espacio vectorial de un módulo?
- ¿Qué relación tiene un álgebra lineal para tener a los espacios vectoriales y los módulos?
- Hay una expresión algebraica estructura definida sobre los grupos de la misma manera que los espacios vectoriales definidos sobre los campos y los módulos sobre anillos?
