Centros del triángulo elegante celosía

Question

No tome un derecho triángulo escaleno y calcular el triángulo de los centros. Cuántos de celosía puntos en la vecindad del origen pueden ser cubiertos por estos triángulo en los centros?

El triángulo $ ((4\sqrt3, 3\sqrt3), (-4\sqrt3, -3\sqrt3), (3, 12))$ es la mejor que he encontrado hasta ahora, de vuelta de problemas desde el incentro, ortocentro y baricentro. Los puntos verdes son racionales centros, puntos rojos no son racionales centros.

Las coordenadas de los primeros 13 centros de $$((3,6), (1,4), (-3,4), (9,4), (3,4), (89,148)/21,(183,264)/43)$$ $$( (-3,0), (-27,126)/43, (0,3), (3,9), (12,21)/4, (77,100)/17)$$

Hay triángulos con centros que cubren más clara de celosía puntos de cerca el origen de este triángulo?

Answer 1

Aquí se $2$ candidatos (las coordenadas de los vértices y proyectos de bocetos), pero sólo $112$ primeros centros se han considerado/dibujado aquí.

De hecho, estos triángulos son semejantes ($\sqrt{2}$-escala y $45^\circ$-rotar).

El primer triángulo: $(-14,\;2), \quad (7+3\sqrt{7},\; -1-3\sqrt{7}), \quad (7-3\sqrt{7},\; 3\sqrt{7}-1)$;

Primeros entero centros: $X_1(-2,2)$, $X_2(0,0)$, $X_3(-2,-10)$, $X_4(4,20)$, $X_5(1,5)$, $X_8(4,-4)$, $X_{10}(1,-1)$, $X_{11}(-5,-1)$, $X_{12}(-1,3)$.

Segundo triángulo: $(-3,\; 3\sqrt{7}+4), \quad(-3, \;4-3\sqrt{7}),\quad (6,\;-8)$;

Primeros entero centros: $X_1(0,-2)$, $X_2(0,0)$, $X_3(6,4)$, $X_4(-12,-8)$, $X_5(-3,-2)$, $X_8(0,4)$, $X_{10}(0,1)$, $X_{11}(3,-2)$, $X_{12}(-1,-2)$.

(Gratis para profundizar en la investigación y mejorar).