Calcular el valor de $\frac{a-d}{b-c}$

Question

Si $\frac{a-b}{c-d}=2$ y $\frac{a-c}{b-d} = 3$ entonces determinan el valor de: $ $$\frac{a-d}{b-c}$de % que $a,b,c,d$ son números reales.

¿Puede alguien por favor me ayude con esto y me das un toque? Traté de sustituciones y resolverlas simultáneamente pero no podíamos determinar este valor. Por favor ayuda.

Answer 1

Este podría no ser el más mathletic solución, pero aquí va de todos modos.

Tenga en cuenta que la información tenga sentido, debemos tener $c\neq d$$b\neq d$. A partir de estas dos observaciones, vemos también que $b\neq c$ ya que de lo contrario las dos ecuaciones son iguales, es decir, $2=3$ lo cual es un disparate. Deje $k=\frac{a-d}{b-c}$.

Así entonces podemos formar un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas: $$a-b-2c+2d=0, \\ a-3b-c+3d=0,\\ a-kb+kc-d=0.$$

De manera que los valores de $a,b,c,d$ mentira en la nullspace de la matriz $$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 2\\ 1 & -3 & -1 & 3\\1 & -k & k & -1\end{bmatrix}.$$

Podemos aplicar la habitual reducción de la fila procedimiento para ver que el nullspace de que la matriz es igual a la nullspace de $$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 2\\0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\0 & 0 & \frac{k}{2}+\frac{5}{2} & -\frac{k}{2}-\frac{5}{2}\end{bmatrix}.$$

Ahora si $\frac{k}{2}+\frac{5}{2}\neq 0$, entonces podemos continuar con la reducción de la fila para obtener $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}.$$ But this means that $a=b=c=d$, which we know is not the case. Thus $\frac{k}{2}+\frac{5}{2}=0$ must be true, i.e., $k=-5$.

Answer 2

Ha $\displaystyle{\frac{a-b}{c-d}}=2$$\displaystyle{\frac{a-c}{b-d}}=3$, por lo tanto

$$a-b = 2c-2d\\a-c = 3b-3d$$

Restando

$$c-b=2c-3b+d$$

O, añadiendo $2b-2c$ a ambos términos,

$$b-c=d-b$$

Entonces

$$2=\frac{a-b}{c-d}=\frac{a-d+d-b}{c-b+b-d}$$

En el denominador, $c-b$ $b-d$ son iguales, por lo que

$$2=\frac12\frac{a-d}{c-b}+\frac12\frac{d-b}{b-d}=\frac12\frac{a-d}{c-b}-\frac12$$

Por lo tanto,

$$\frac{a-d}{c-b}=5$$

O

$$\frac{a-d}{b-c}=-5$$

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Solución alternativa, escriba lo siguiente como un sistema de ecuaciones donde $c$ $d$ son las incógnitas:

$$a-b = 2c-2d\\a-c = 3b-3d$$

$$2c-2d=a-b\\-c+3d=3b-a$$

Mediante la adición de la primera fila de a dos por la segunda,

$$-2d+6d=a-b+6b-2a$$ $$d=\frac{5b-a}{4}$$

Entonces

$$2c=a-b+2d=\frac{2a-2b+5b-a}{2}$$ $$c=\frac{3b+a}{4}$$

Usted, a continuación, conecte estos valores en su fracción,

$$\frac{a-d}{b-c}=\frac{4a-5b+a}{4b-3b-a}=\frac{5a-5b}{b-a}=-5$$

Answer 3

Cruzada de los resultados de dos ecuaciones en $$a-b=2(c-d)\text{ (1)}\\a-c=3(b-d)\text{ (2)}$$ eliminación $a$ restando el $(1)$ $(2)$ resultados de $$b-c=3b-d-2c\text{ (3)}$$ eliminación $d$ restando el $2\times(1)$ resultados de $3\times(2)$ $$6(b-c)=-2c+3b-a\text{ (4)}$ $ finalmente restar $(3)$ $(4)$ resultados en $$5(b-c)=d-a$ $ líder a $$\frac{a-d}{b-c}=-5$ $

Answer 4

componendo dividendo = CD

$\frac{a-b}{c-d}=2$ $....(1)$

$\frac{a-c}{b-d}=3$ $.....(2)$

Usando el CD en la ecuación (1) para obtener:

$\frac{a+c-(b+d)}{a+d-(b+c)}=2$ $....(3)$

Con nuevo CD en la ecuación (2) obtenemos:

$\frac{a+b-(c+d)}{a+d-(b+c)}=3$ $....(4)$

Dividiendo (3) (4) obtenemos:

$\frac{a+c-(b+d)}{a+b-(c+d)}=2/3$

Utilizar CD en esta ecuación para llegar a una respuesta.

Answer 5

conectar $c=\frac{a+3b}{4}$ y $d=-\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}$ en el término dado obtenemos $-5$ como el resultado.