Interesante problema de la geometría (cuadrado y dos círculos)

Question

¿Cuál es el área de la Plaza? (Creo que la imagen adjunta define claramente el problema).

Answer 1

Sea el cuadrado de lado $2a$. Claramente $a > 6$. Entonces con el origen en el centro de la Plaza, el interior círculo puede expresarse como $(x-b)^2+y^2=(a-b)^2$

Así que sabemos que la intersección de este círculo con el eje de $Y$ positivo debe ser $a-4$ y el intercepto con el eje de $-X$ $6-a$. Por lo tanto, $$b^2+(a-4)^2=(a-b)^2, \qquad (6-a-b)^2=(a-b)^2$ $

$$\implies a \in \{3, 8\} \implies a = 8$$

Así, el área requerida es $256$.

Answer 2

Deje $A$ el valor más a la izquierda del punto (muestra) en el pequeño círculo y $C$ el de más a la derecha del punto de muestra. Deje $B$ denotar el "top" del punto de muestra en el círculo pequeño. Deje $O$ ser el centro de la plaza.

Ahora vamos a $x$ ser la longitud de la $AO$. La longitud de $BO$ $2+x$ y la longitud de $OC$$6+x$.

Primaria teorema de la geometría nos dice $\angle ABC$$90^\circ$. De ello se desprende que los triángulos $\triangle ABC$ $\triangle AOB$ son similares. Por semejanza de triángulos tenemos $$ {6+2x\\sqrt {x^2+(2+x)^2}}= {{\sqrt {x^2+(2+x)^2}}\over x} $$ de dónde $x=2$.

La longitud lateral de la plaza es lo $16$.

Answer 3

Dentro del pequeño círculo que se cruzan dos acordes. Llame a la longitud de sus segmentos $h$, $h$, $\ell$ y $L$. Espero que sea obvio que el dos $h$'s corresponden a las dos piezas de la vertical de acordes. Claramente $L=h+4=6+\ell$, ya que los tres son el radio del círculo grande. Por la Intersección de los Acordes Teorema,

$$ h^2=\ell L=(h-2)(h+4)=h^2+2h-8$$

a partir de que $h=4$ sigue fácilmente. Esto implica la gran círculo tiene radio de $8$, lo que significa que el cuadrado tiene lados de longitud $16$, por lo tanto el área de $256$.

Answer 4

Creo que esta es la solución más simple:

Que $L$ sea la longitud del lado de la Plaza. Aplicando el teorema de cuerdas que se intersectan en el círculo más pequeño resuelve este casi instantáneamente, si escrito puramente en términos de $L$:

$$ \left (\frac {L} {2} - 6\right)\left(\frac{L}{2}\right) = \left(\frac{L}{2}-4\right)\left(\frac{L}{2}-4\right) $$

Para resolver esto da

$$ L = 16 \implies \text{Area} = 256 $$

Answer 5

$a$ Se define como la distancia desde el centro de la Plaza hasta el centro del círculo más pequeño (el círculo sólo significativo). Entonces, definir $r$ como el radio del círculo más pequeño. Decir $s$ sidelength de la Plaza. En este caso, $$\frac{s}{2}=r+a,\quad \frac{s}{2}=4+\sqrt{r^2-a^2},\quad s=6+2r.$$ There are three algebraic equations with three variables. Comparing the first and last gives $ un = 3 $, then substitution into the second leads to $r = 5 $. From the first, then $s = 16$.

Por lo tanto, $A=s^2=256.$