Encontrando $n$ tal que $x_n$ es un número primo

Question

Si el número $x_n$ es en forma de $1010101...1$ tiene $n$ Cómo encontrar cada $n$ tal que $x_n$ es un número primo

Answer 1

La respuesta es $x_n$ es primo $\iff n=2$ :

1. $101$ es primo.
2. Si $n$ es incluso entonces $101\mid x_n$ (ver Mike's comentario ).
3. Si $n=2k+1$ entonces $x_n=\overbrace{11\ldots1}^n\times\overbrace{90909\ldots09}^{k \text{ nines}}1$ .

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Prueba de (3):
De Cameron Buie's comentario (o por multiplicación directa) se deduce que $\color{blue}{11}\times \color{blue}{x_n}=\overbrace{11\ldots1}^{2n}= \overbrace{\color{blue}{11\ldots1}}^{n}\times\color{blue}{1}\overbrace{\color{blue}{00\ldots0}}^{2k \text{ zeros}}\color{blue}{1}$ .
Desde $\gcd(11,\overbrace{11\ldots1}^{n})=1$ ( $n$ es impar) se deduce que $\overbrace{11\ldots1}^{n}\mid x_n$ y $11\mid1\overbrace{00\ldots0}^{2k \text{ zeros}}1$ .
Por lo tanto, $x_n$ es compuesto.

Desde $$\begin{array}{cc} \overbrace{90909\ldots0909}^{k \text{ nines}}1&\\ 90909\ldots090910\, & + \\ \text{__________________}&\\ 1\underbrace{00000\ldots00000}_{2k \text{ zeros}}1\;\;\;\,& \end{array}$$ concluimos $$ 11\times\overbrace{90909\ldots09}^{k \text{ nines}}1=(10+1)\times\overbrace{90909\ldots09}^{k \text{ nines}}1= 1\overbrace{00\ldots0}^{2k \text{ zeros}}1\Longrightarrow\\ x_n= \overbrace{11\ldots1}^n\times\overbrace{90909\ldots09}^{k \text{ nines}}1. $$