Si las raíces de la ecuación son $x_1$, $x_2$ y $x_3$ :
$$
x_1+x_2+x_3=x_1x_2x_3=un
$$
A partir de la suma de las raíces y el producto de las raíces de la condición. Esto es suficiente para demostrar que $x_1$, $x_2$, $x_3$ son positivos como :
$$
x_1+x_2+x_3 > 0
\\
x_1x_2x_3>0
\\
x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=b>0
$$
Como por Regla de Descartes de los Signos, cualquiera de los tres raíces son positivos o sólo en uno de ellos es positivo. Supongamos que $x_3$ es el positivo de la raíz.
$$
x_1+x_2+x_3 >0
\\
x_1+x_2>-x_3
\\
\lvert x_1 + x_2 \rvert < x_3
$$
Podemos ver que :
$$
\frac{\lvert x_1+x_2 \rvert}{2} \ge \sqrt{x_1x_2}
$$
Como $x_1$ $x_2$ son negativos.
El cuadrado :
$$
\frac{(x_1+x_2)^2}{4} \ge x_1x_2
$$
Ahora,
$$
x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=x_1x_2+x_3(x_1+x_2)
$$
Si este es positivo. Entonces :
$$
x_1x_2>x_3 \lvert x_1+x_2 \rvert
$$
Pero
$$
x_1x_2 \le \frac{(x_1+x_2)^2}{4}
$$
Por lo tanto :
$$
x_3 \lvert x_1 + x_2 \rvert < \frac{(x_1+x_2)^2}{4}
\\
x_3 < \frac{\lvert x_1 + x_2 \rvert}{ 4}
$$
que es imposible, ya que
$$
\lvert x_1 + x_2 \rvert < x_3
$$
EDIT : parece que hay una manera mucho más fácil de demostrar que las tres raíces son positivos. El crédito va para @dxiv. Puesto que la ecuación cuadrática es $x^3-ax^2+bx-a$ si $x<0$, entonces la expresión siempre se evalúa a un valor negativo desde $a,b$ son positivos. En este caso, no habrá ninguna raíces de la ecuación que demuestra que si hay raíces de la ecuación, entonces, tienen que ser positivos.
Esto ha sido demostrado anteriormente. Por lo tanto. esta ecuación tiene tres raíces reales positivas.
La aplicación de la AM-GM de la desigualdad :
$$
\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \ge \sqrt[3]{x_1x_2x_3}
\\
\frac{a}{3} \ge \sqrt[3]
\\
un \ge 3\sqrt{3}
\\
\frac{x_1+x_2+x_3}{3} = \sqrt{3}= \sqrt[3]{x_1x_2x_3}
\implica AM=GM
$$
Por lo tanto $x_1$, $x_2$ y $x_3$ son iguales como la media geométrica de los tres números es igual a su media aritmética sólo si los tres son iguales.
