Demostrando una ecuación de campo conduce a la otra

Question

Supongamos que el universo es homogéneo e isotrópico, y tiene la siguiente ecuación:

\begin{equation}R_{00}-\frac{1}{2}g_{00}R=8\pi GT_{00}; \space \space \nabla_{\mu}T^{\mu 0}=0.\end{equation}

¿Cómo pruebo que las siguientes ecuaciones se satisfacen idénticamente siempre que se cumplan los dos anteriores?

\begin{equation}R_{0i}-\frac{1}{2}g_{0i}R=8\pi GT_{0i}; \space \space R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R=8\pi GT_{ij}; \space \space \nabla_{\mu}T^{\mu i}=0.\end{equation}

Mi enfoque era escribir $g_{00}=1$ y $g_{ij}=-a^2\gamma_{ij}$ y evaluar los tensores de Ricci y así sucesivamente, pero esto no es la manera de hacerlo. ¿Alguien me lo puede sugerir?

Answer 1

Aquí es un método simple que podría funcionar. Empezar por definir

$$F_{\mu\nu} \equiv G_{\mu\nu} - T_{\mu\nu}$$

donde $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$ es el tensor de Einstein. Ahora, a partir de lo que sabemos, hemos $$F_{00} = 0$$

$$\nabla^{\mu}F_{\mu0} = 0$$

Usted debe demostrar que $F_{\mu\nu} = 0$. La escritura de la última ecuación nos da

$$0 = \partial_{i} F^{i 0} + \Gamma^{\mu}_{\mu \alpha}F^{\alpha 0} + \Gamma^{0}_{\mu \alpha}F^{\mu \alpha}$$

Homogéneo e isotrópico implica que los gradientes de desaparecer y que $F^{11}=F^{22}=F^{33}$, por lo que

$$0 = a^2 H \delta_{ij} F^{i j}$$

Esto demuestra que $F_{00} = F_{11} = F_{22} = F_{33} = 0$. Ahora a $F_{ij} = 0$ $i\not =j$ usted puede ser que necesite algunos supuestos adicionales sobre la inercia de energía tensor $T^{\mu\nu}$, por ejemplo,$T^{ij} = 0$.

Answer 2

Primero lo que sabemos: $G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}g_{\mu \nu} R$ $T_{\mu \nu}$ son tensores en que se transforman correctamente en el marco de transformaciones de coordenadas ($G_{\mu \nu}$ por la construcción y $T_{\mu \nu}$, debido al EFEs), así que no importa que enmarcan hacemos nuestras mediciones, este tensor ecuación se mantenga siempre.

Supongamos que un comoving observador toma mediciones cuidadosas en su marco y se encuentra en la primera ecuación sea verdadera. Este es un caso especial de cómo podemos determinar lo que un observador con un arbitraria de cuatro de la velocidad de medida, que es la contracción con que cuatro de velocidad $$G_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} = 8\pi T_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu}$$ Then imagine other observers with four velocities of the form $u_i^{\alpha} = Ae_0^{\alpha} + B e_i^{\alpha}$, where $e_0$ denotes the unit vector in the time direction, $e_1$ denotes the unit vector in the $1/x/i/$whathaveyou direction, etc., and $$ and $B$ are normalization factors. The above equation is an invariant scalar equation and from this fact and a plethora of observers we can build up the rest of the relations. The same procedure can be applied to the energy conservation equation, only now we are contracting $u_{\nu}\nabla_{\mu} T^{\mu \nu}$