¿Cómo puede uno (formalmente) determinar el contenido de partículas de una teoría de campo libre?

Question

Aquí está mi pregunta: Supongamos que estoy dado libre el campo de la teoría, donde mis campos son funciones de $\phi:\mathbb{R}^4 \rightarrow V$, y las ecuaciones de movimiento de un sistema lineal de Lorentz-invariante las ecuaciones diferenciales (Dada una acción de Lorentz álgebra en $V$). Es allí una manera de decir de manera formal o de manera abstracta lo que es la 'partícula de" contenido de este campo de la teoría es? Es decir, ¿cuántas partículas hay y lo que hay tiradas/masas?

Debo mencionar que yo entiendo cómo determinar esta empíricamente - Uno puede a menudo simplemente "mirar el Lagrangiano" y averiguar lo que los tipos de partículas que hay y lo que sus masas son. Estoy buscando una manera más formal de decir esto.

Answer 1

Sí, las soluciones a sus lineal de las ecuaciones de movimiento proporcionará lineal de las representaciones del grupo de Poincaré. Las partículas se corresponden a las representaciones irreducibles presente. La central unitaria de las representaciones del grupo de Poincaré fueron clasificados por Wigner utilizando el método de la inducción de representaciones [ver Weinberg Ch. 2]. Están marcados por una masa y una representación de que el pequeño grupo (SU(2) para partículas macizas, ISO(2) (2) para partículas sin masa). Estos números cuánticos surgen como casimirs del álgebra (la masa es $P^{\mu}P_{\mu}$ y la Pauli Lubanski vector $W_{\mu}\approx\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma}J^{\nu \rho}P^{\sigma}$, y la plaza que le dice el pequeño grupo y su correspondiente casimir.) El Casimirs son una constante en las representaciones de la ISO(3,1) por lo que cada representación irreducible le da una partícula, y la casimirs decirle la masa y spin. Usted puede examinar sus ecuaciones de movimiento más de cerca. Si hay simetrías adicionales usted puede descomponer las partículas de acuerdo a las representaciones irreducibles de los internos de simetrías.