He estado pensando cómo probar algunas de estas "fórmulas" básicas, pero la mayoría de ellos no sé cómo: $$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ $ exponentes como % $ $$(a^b)\cdot (a^c)=a^{b+c}$(sé que esto tiene sentido para los números enteros pero ¿cómo demostrarlo para todos los números?), y cómo puede multiplicar cualquier número en cualquier orden y obtener la mismo resultado (otra vez este sentido 2 o quizás 3 números, pero cómo sabes que es válido para cualquier cantidad). Gracias
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Como con todos los "hechos básicos" en matemáticas, tomamos ciertos supuestos básicos para ser axiomas. Las definiciones son similares a los axiomas en ese sentido, en el que no son teoremas pero las definiciones que hacer explícito lo que ciertas cosas básicas que decir. Sin axiomas básicos y primitivos definiciones, no tendríamos ninguna bloques de construcción a partir de la cual construir teoremas, o para probar que las operaciones más complejas, funciones, conjuntos, estructuras, etc.
La multiplicación de dos números racionales $x = \dfrac ab, \; y = \dfrac cd$ está definido por $$xy = \dfrac ab \cdot \dfrac cd = \dfrac {a\cdot c}{b \cdot d}.$$
Por supuesto, queremos apelar a la definición de los números racionales, que requiere una apelación a la definición de los números enteros. También tenemos que ser claros sobre lo que queremos decir por "la multiplicación de dos números"
Del mismo modo, se suele definir, para los números reales $a, b, c$, (otra definición requerida) $$\large \;(a^b)\cdot (a^c) = (a)^{b+c}.\;$$ Esto puede ser representado por números enteros a, b, c, por:
$$\large a^b \cdot a^c \; = \;\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot}_{\large b \;factors} \cdots \underbrace{\cdot a \cdot a \cdot a}_{\large c\; factors}\quad = \quad \underbrace{a \cdot a\cdot \cdots \cdot a \cdot a}_{\large (b+c) \;factors} = a^{b+c}$$
Y del mismo modo, $\large\;\;(a^b)^c = a^{b\cdot c}$, que representa con números enteros $a, b, c$:
$$ \large (a^b)^c = \underbrace{a^b\cdot a^b \cdot \cdots \cdot a^b \cdot a^b}_{\large c\; factors} = \underbrace{\underbrace{a \cdot a \cdots \cdot a}_{\large b\; factors}\cdot \underbrace{ a \cdot a \cdots a}_{\large b \;factors}\cdots\cdots \underbrace{ a \cdot a \cdots a}_{b \;factors}}_{\large c \;factors} $$ $$=\large\underbrace{a \cdot a\cdot a \cdots \cdots \cdot}_{\b grandes c\;factores}\quad = \quad a^{bc}$$
Trevor Wilson
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Vamos a probar estas declaraciones de los números racionales, porque probando para números reales requeriría una definición formal de los números reales (que puede conseguir bastante técnico).
La declaración de $(a/b)(c/d) = ab/cd$ generalmente se toma como la definición de la multiplicación de números racionales, así que no hay nada que demostrar.
Si se acepta que la identidad de $a^ma^n = a^{m+n}$ es cierto para los números naturales, entonces siguiendo la definición habitual de exponenciación racional, bases de $(a/b)^m = a^m/b^m$ donde $a$, $b$, y $m$ son números enteros, y la definición habitual de la multiplicación de los números racionales como el anterior, se puede demostrar el deseo de identidad racional, como bases de la siguiente manera: $$(a/b)^m(a/b)^n = (a^m/b^m)(a^n/b^n) = (a^ma^n/b^mb^n) = a^{m+n}/b^{b+n} = (a/b)^{m+n}$$
La prueba para exponentes racionales es un poco más complicado, pero tal vez usted consigue la idea. Es importante notar que no estamos probando fórmulas para el cero, pero en lugar de fórmulas más sencillas que ya sabemos. En algún punto, el proceso se tiene que parar y vamos a tener que aceptar un par de simples declaraciones como axiomas.
Si se acepta que la multiplicación es asociativa y conmutativa, es decir,$(xy)z = x(yz)$$xy = yx$, entonces usted puede probar que el producto de $n$ números de $x_1,\ldots,x_n$ no depende de su orden. Por ejemplo, usted puede solicitar la conmutatividad para cambiar el $x_1$ e las $x_2$, y luego de nuevo para cambiar la $x_2$ e las $x_3$, y así sucesivamente para obtener lo que la reordenación desea (por no escrito entre paréntesis estamos implícitamente el uso de la asociatividad.) Formalmente se trata de una prueba por inducción: si podemos hacer $k$ interruptores sin cambiar el producto, también podemos hacer $k+1$ interruptores sin cambiar el producct, por lo que "inducción" podemos hacer cualquier número de interruptores.
