El centro de la tierra

Question

Soy un principiante aquí (primer post y la primera incursión en matemáticas desde la escuela secundaria, tratando de ponerse al día), así que voy a intentar mi mejor esfuerzo para explicar mi problema en términos matemáticos, a continuación, seguir con una explicación intuitiva. Gracias de antemano.

Matemáticas: Dados dos puntos a y B sobre una esfera, donde las coordenadas y el ángulo de la normal del plano tangencial en contra de la esfera de lo que se sabe, de lo que es el centro de esa esfera? No estoy seguro de que la mejor manera de representar tal ángulo, parece que podría variar en función del problema o contexto; tal vez alguien podría aconsejar? Digamos que empiezo con una de coordenadas esféricas sin la radio.

Intuitiva: Si yo soy una persona de pie en un perfectamente esférica del planeta, puedo sentir la dirección de la gravedad. Si puedo caminar una distancia conocida en un conocido dirección, puedo sentir la fuerza de la gravedad tirando de una diferente dirección absoluta (suponiendo que poseen una orientación absoluta de referencia!). ¿Cómo puedo calcular el centro de ese planeta y mi posición en relación a él?

Muchas gracias. Por favor, disculpe mi expresión débil de mi problema.

Answer 1

Su problema es:

Deje $S\subset\mathbb{R}^3$ ser una esfera (observación: esta en el hecho de trabajar para una $(n-1)$-esfera en $\mathbb{R}^n$), y asumir que somos dados dos puntos distintos $x,y\in S$ no antipodal a cada uno de los otros y los vectores normales a la esfera en estos puntos, $n_x,n_y$. ¿Qué es el centro (y radio) de la $S$?

La solución, como se ha mencionado en los comentarios, es tomar las líneas rectas definidas por los vectores normales y se cruzan con ellos. Las líneas pueden ser parametrizadas por $$\{x + tn_x\mid t\in\mathbb{R}\},\qquad\{y + sn_y\mid t\in\mathbb{R}\}.$$ Su intersección es la solución de $$x + tn_x = y + sn_y.$$ Esta es una ecuación en la $3$ coordenadas. Escribir y encontrar $t$ (e $s$), a continuación, insertar en la fórmula de la línea a través de $x$ para encontrar el centro.

Nota: Si los puntos están antipodal, luego las líneas coinciden. En ese caso, el centro es el punto dado por $c=\frac{x+y}{2}$.