¿Cómo busco las RFP?

Question

Estoy tratando de encontrar el valor de esta integral:

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty\frac{n\cos^2(x/n)}{n+x^4}dx}$.

El integrando tiende a 1 como $n$ va hasta el infinito. Así que si tiene algún Teorema de la convergencia, el integral tendería a infinito (no Lebesgue dominado Teorema de convergencia, ya que si hubiera una función integrable dominando el integrando, sería una contradicción). Así que supongo que el valor de esta integral debe ser infinito, pero no estoy seguro.

Answer 1

Sustitución de $x:=n^{1/4} t$ $\>(0<t<\infty)$ $$\int_0^\infty{n\cos^2(x/n)\over n+x^4}\>dx=n^{1/4}\int_0^\infty {\cos^2(tn^{-3/4})\over 1+t^4}\ dt\ .\tag{1}$ $ de da la función $t\mapsto \cos^2(tn^{-3/4})$ es no negativo y $\geq{1\over2}$ $0\leq t\leq{\pi\over4}n^{3/4}$. Se sigue que la integral en el lado derecho de $(1)$ es $$\geq{1\over2}\int_0^{\pi/4}{dt\over1+t^4}\>dt=:C>0$de % $ % todos $n\geq1$. Esto demuestra que el límite en cuestión es $=\infty$.

Answer 2

Por una integración directa, se puede obtener más que el valor del límite deseado.

Tenemos, como $n$ tiende a $+\infty$:

$$ \int_0^{+\infty}n\:\frac{\cos^2(x/n)}{n+x^4}{\rm d}x =\color{#008B8B}{\frac{\pi\sqrt{2}}{4}} \color{#006699}{\:n^{1/4}}+\color{#008B8B}{\frac{\pi\sqrt{2}}{4}}\color{#006699}{\frac{1}{n^{5/4}}}+\color{#008B8B}{\frac{\pi}{3}}\color{#006699}{\frac{1}{n^2}}+\mathcal{O}\left(\color{#006699}{\frac{1}{n^{11/4}}}\right) \tag1 $$

Por supuesto, el deseado límite es $+\infty$.

Uno puede recordar que tenemos, usando la transformada inversa de Laplace, el resultado estándar: $$ \int_0^{+\infty}\frac{\cos^2(ax)}{b^4+x^4}{\rm d}x =\frac{\pi +e^{-\sqrt{2} b} \pi \left(\cos\left(\sqrt{2} b\right)+\sin\left(\sqrt{2} b\right)\right)}{4 \sqrt{2} \:b^3}\quad a>0,\,b>0. $$ A continuación, poner $a:=\dfrac 1n$$b:=n^{1/4}$, obtenemos $$ \int_0^{+\infty}\frac{\cos^2(x/n)}{n+x^4}{\rm d}x =\frac{\pi +e^{-\Large \frac{\sqrt{2}}{n^{3/4}}} \pi \left(\cos\left(\Large \frac{\sqrt{2}}{n^{3/4}}\right)+\sin\left(\Large \frac{\sqrt{2}}{n^{3/4}}\right)\right)}{4 \sqrt{2} \:n^{3/4}}. $$ Now, as $x$ is near $0$, se aplica el estándar de la serie de Taylor de las expansiones: $$ \begin{align} e^{-x} & =1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\mathcal{O}\left(x^5\right) \\ \cos x & =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\mathcal{O}\left(x^5\right) \\ \sin x & =x-\frac{x^3}{3!}+\mathcal{O}\left(x^5\right) \end{align} $$

con $\displaystyle x:=\frac{\sqrt{2}}{n^{3/4}} $ dar $(1)$.

Answer 3

Realmente no sé cuánto lo siguiente podría ayudarte; así, por favor, perdóname si estoy fuera de tema.

Considerar $$\displaystyle{I=\int\frac{n\cos^2(x/n)}{n+x^4}dx}$$ $$\displaystyle{J=\int\frac{n\sin^2(x/n)}{n+x^4}dx}$$ So $$\displaystyle{I+J=\int\frac{n}{n+x^4}dx}$$ for which the antiderivative can be computed (using partial fraction decomposition). As a consequence $$\displaystyle{\int_0^{\infty}\frac{n}{n+x^4}dx}=\frac{\pi \sqrt[4]{n}}{2 \sqrt{2}}$$ I am not able to demonstrate it, but I have the stange feeling that, using limits, both $ I $ and $J$ podría tener el mismo comportamiento.