La existencia de una función continua con una propiedad dada

Question

Yo podría utilizar un poco de ayuda con el siguiente problema

Si $ a_0, a_1, \ldots , a_n $ son números reales tales que la ecuación $ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_0=0 $ no tiene soluciones reales, entonces no existe ninguna función continua $ f:\Bbb R \mapsto \Bbb R $ tal que $ a_nf^{[n]}+a_{n-1}f^{[n-1]}+ \cdots + a_0f^{[0]}=0 $ donde $f^{[n]} $ $n$th recorrer de $f$ el (e.g $ f^{[0]}=1_{\Bbb R}, f^{[2]}=f \circ f$)

Un ejemplo sería que no existen funciones continuas $f$ tal que $f(f(x))+f(x)+x=0$ , ya que el polinomio $x^2+x+1=0$ no tiene raíces reales.(la prueba que va a través de inyectividad)

Estoy buscando principalmente una escuela primaria de la solución, pero nadie va a hacer.

Answer 1

se puede demostrar que $$f(x)\neq x\; for\; x\neq0\;,\;\exists\lim_{x->+\infty }f(x)\in \left \{ +\infty,-\infty \right \}and\;f\;is\;strict\;Increasing\;or\;decreasing\;$$but sé que no es útil

Answer 2

Edit: Gracias a @Hurkyl me di cuenta de que la combinación de funciones iteradas es necesario estar constantemente cero. Mi mal.

Edit: la afirmación es falsa. $x^2+x+1$ no tiene raíz en $\mathbb{R}$, pero la configuración de $f(x)=-3x+1$ es claro que $f^{[2]}+f^{[1]}+f^{[0]}$ $x=0$ cero.

Si nos referimos a la identidad de la función en $1_\mathbb{R}$, lo anterior aún se mantiene.

De hecho, creo que siempre es posible encontrar la combinación lineal de los coeficientes he mencionado a continuación y de la correspondiente función continua desde su ecuación polinómica de un número finito de grados.

(Respuesta anterior) No una respuesta, solo una idea. Asumir que uno puede encontrar distintos reales $c_1, c_2, \cdots, c_n$ tal que $\sum_{k=1}^n a_k c_k =-a_0$. A continuación, debe haber una función continua $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que pasa por los puntos(con distintas posiciones horizontales) {$(c_0,c_1),\cdots,(c_{n-1},c_n)$}. Ahora que $\sum_{k=0}^n a_k f^{[k]} $ $c_0$ cero, y por el contrario si podemos demostrar que cualquier función continua el cumplimiento de los requisitos también tiene que pasar a través de $n$ puntos por encima de la propiedad, permanecerá para mostrar que es imposible para los coeficientes de un polinomio real con ninguna raíz real, es decir,$a_1, a_2, \cdots, a_n$, que se combinan linealmente de forma en $\mathbb{R}$ rendimiento $-a_0$.

Pero es difícil caracterizar a los coeficientes así que me voy a ninguna de aquí. En una nota de lado, $n$ debe ser un número par, obviamente.