Demostrar que $n < 2^{n}$ para todos los números naturales $n$ .

Question

Demostrar que $n < 2^{n}$ para todos los números naturales $n$ .

He probado esto con la inducción:
La desigualdad se mantiene claramente cuando $n=1$ .
Suponiendo que cuando $n=k$ , $k<2^{k}$ .
Considerando $k+1 <2^{k}+1$ Pero, ¿a dónde voy a partir de aquí?

¿Algún otro método quizás?

Answer 1

Argumento del recuento:

Dejemos que $S$ sea un conjunto con $n$ elementos. Hay $2^n$ subconjuntos de $S$ . Hay $n$ subconjuntos únicos de $S$ . Hay por lo menos un subconjunto no singular de $S$ el subconjunto vacío.

Answer 2

Prueba por inducción.

Dejemos que $n \in \mathbb{N}$ .

Paso $1.$ : Dejemos que $n=1$ $\Rightarrow$ $n\lt2^{n}$ se mantiene, ya que $1\lt 2$ .

Paso $2.$ : Supongamos que $n \lt 2^{n}$ se mantiene donde $n=k$ y $k \geq 1$ .

Paso $3.$ : Prueba $n \lt 2^{n}$ se mantiene para $n = k+ 1$ y $k\geq 1$ para completar la prueba.

$k \lt 2^{k}$ , utilizando el paso $2$ .

$2\times k \lt 2\times2^{k}$

$2k \lt 2^{k+1}\quad(1)$

Por otro lado, $k \gt 1 \Rightarrow k + 1 \lt k+k = 2k$ . Por lo tanto, $k+1\lt2k\quad(2)$

Al fusionar los resultados (1) y (2).

$k + 1 \lt 2k \lt 2^{k+1}$

$k + 1 \lt 2^{k+1}$

Por lo tanto, $n \lt 2^{n}$ es válida para todos los $n \in \mathbb{N}$

Answer 3

Tenga en cuenta que $\displaystyle 2^n=(1+1)^n=1+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}>\binom{n}{1}=n$ es válida para todos los $n\in \mathbb{N}$ .

Answer 4

Ya que nadie lo ha publicado todavía:

Esto es, por supuesto, un caso especial de Teorema de Cantor : para cualquier número cardinal $n$ , $n<2^n$ y por lo tanto, en particular, es cierto para todos los cardenales finitos (también conocidos como naturales).

Answer 5

También puedes demostrarlo utilizando la derivada. Como $n<2^n$ para $n=1$ Y además: $$1 < \log 2 \cdot 2^n$$ Para todos $n>1\in \mathbb{R}$ , $n < 2^n$ para el mismo.