¿Cómo probar el producto del tensor de dos copias de $\mathbb{H}$ es isomorfo a $M_4 (\mathbb{R})$?

Question

Cómo probar el producto tensor $\mathbb{R}$ de dos copias de los cuaterniones es isomorfo a la matriz álgebra $M_4 (\mathbb{R})$ como álgebras de más de $\mathbb{R}$? Más precisamente, el problema es mostrar el isomorfismo $\mathbb{H} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{H} \cong M_4 (\mathbb{R})$.

En el libro "la vuelta de la Geometría" por Lawson y Michelsohn, página 27, hay un isomorfismo definido por el envío de $q_1 \otimes q_2$ a la real endomorfismo de $\mathbb{H}$ el cual es dado por $x \mapsto q_1 x \bar{q_2}$, pero no sé cómo deducir que este real álgebra homomorphism es en realidad un isomorfismo.

Answer 1

Es un hecho básico (he aquí una prueba en la segunda propuesta en la página 157) que el producto tensor de dos centrales simple álgebras es otra central simple álgebra. Una prueba debe estar disponible en cualquier central de simple álgebras se discuten.

• Otro lugar en Jacobson Básicos de Álgebra II en la página 218-219.

• Otro lugar en Rowen del Anillo de la teoría del Teorema de 1.7.27.

• Otra ubicación en las notas de Morandi.

Por la sencillez del anillo, el núcleo de su (distinto de cero) anillo homomorphism automáticamente se $\{0\}$, mostrando que es inyectiva.

Finalmente, puesto que la imagen y codominio son de 16$\Bbb R$-dimensional, son iguales, mostrando el también debe ser surjective.

Answer 2

El grupo de Brauer de $\mathbb R$ es $Br(\mathbb R)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$; una forma de verlo es observar que hay exactamente dos clases de (iso) de f.d. simple central álgebras reales, teniendo en cuenta el teorema de Frobenius que clasifica, tan allí es no hay opción para la estructura del grupo. Resulta que la Plaza tensor cada álgebra simple central del real es isomorfa a un álgebra de la matriz. En particular, $\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb H$ es una matriz real álgebra de dimensión $16$, así que debe ser isomorfo a $M_{4}(\mathbb R)$.