Pruébalo: $(1-\frac{1}{d+1})^d>\frac{1}{e}$

Question

Tengo que demostrar que $\left(1-\frac{1}{d+1}\right)^d>\frac{1}{e}$ .

Supongo que tengo que usar eso $\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\rightarrow e$ para $n\rightarrow\infty$ o mejor $<e$ o $\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n>e$ pero no sé exactamente cómo funciona.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Enfoque 1

Utilizando La desigualdad de Bernoulli que es estricto para $d\ge2$ , $$ \begin{align} \frac{\left(1-\frac1{d\vphantom{+1}}\right)^{d-1}}{\left(1-\frac1{d+1}\right)^d} &=\frac{\left(\frac{d-1}{d\vphantom{+1}}\right)^{d-1}}{\left(\frac{d}{d+1}\right)^d}\\ &=\frac{d}{d-1}\left(\frac{d^2-1}{d^2}\right)^d\\[9pt] &\gt\frac{d}{d-1}\left(1-\frac1d\right)\\[15pt] &=1 \end{align} $$ Así, $\left(1-\frac1{d+1}\right)^d$ es estrictamente decreciente y su límite es $\frac1e$ . Por lo tanto, tenemos $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\left(1-\frac1{d+1}\right)^d\gt\frac1e} $$

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Enfoque 2

Si $x\ge-n$ La desigualdad de Bernoulli dice que para $x\ne0$ y $n\ge2$ , $$ 1+x\lt\left(1+\frac x2\right)^2\le\left(1+\frac xn\right)^n $$ Por lo tanto, tomando el límite como $n\to\infty$ obtenemos que para $x\ne0$ , $$ 1+x\lt e^x $$ Así, $$ 1+\frac1d\lt e^{1/d} $$ Elevar ambos lados hasta el $-d$ poder $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\left(1-\frac1{d+1}\right)^d\gt\frac1e} $$

Answer 2

La desigualdad dada es equivalente a: $$\left(1+\frac{1}{d}\right)^d < e $$ o a: $$\log\left(1+\frac{1}{d}\right)<\frac{1}{d}$$ que es trivial por concavidad, ya que $\frac{d^2}{dx^2}\log(1+x)=-\frac{1}{(1+x)^2}<0$ .

Answer 3

¿Por qué todo tan complicado? Tenemos
$$\left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e $$ $$\Rightarrow \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n > \frac{1}{e} $$ Hecho :)

Answer 4

Sugerencia: para $0<h<1,$

$$ \ln (1-h) = -(h+h^2/2 + h^3/3 + \cdots) > -(h+h^2 + h^3 + \cdots)$$

Answer 5

Primero, $$ (1 + \frac{1}{n})^n < e, $$ así que $$ \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^n} > \frac{1}{e}. $$ Ahora, $$ (1 - \frac{1}{n + 1}) = \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{\frac{n + 1}{n}} = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)}, $$ así que $$ (1 - \frac{1}{n + 1})^n = \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^n} > \frac{1}{e} $$ Q. E. D.