¿Encontrar el derivado de $2^{x}$ de primeros términos?

Question

Estaba tratando de entender por qué es especial $e^{x}$ encontrar los derivados de otras funciones exponenciales y comparando los resultados. Así que traté de ${\rm f}\left(x\right) = 2^{x}$, pero ahora estoy atrapado.

Aquí está mi último paso: $\displaystyle{{\rm f}'\left(x\right) = \lim_{h \to 0} {2 ^ {h \left(2^{h}-1\right) \over x}}} $.

Answer 1

Descubierto que\begin{equation*} \frac{d}{dx} 2^x = c 2^x \end{ecuación *} donde $c = \lim_{h \to 0} (2^h - 1)/h$.

Pero tenga en cuenta que $c \neq 1$, que es algo molesto.

Si hubiera utilizado $e$ $2$, habría tenido $c = \lim_{h \to 0} (e^h - 1)/h$, que en realidad es igual a $1$. De hecho, se trata de una definición de $e$.

Así que el derivado de $e^x$ es a $e^x$, lo mismo que arranca con--un resultado hermoso.

Answer 2

Ayuda aquí a usar diferenciación implícita.

$y = a^x$

Tomar el logaritmo natural de ambos lados.

$\ln{y} = x \ln{a}$

Distinguir ambos lados.

$\frac{1}{y} dy = dx \ln{a}$

Multiplicar y dividir.

$\frac{dy}{dx} = y \ln{a}$

Sustituir la definición original de $y = a^x$.

$\frac{dy}{dx} = a^x \ln{a}$

Por lo tanto, es el derivado de $2^x$ $2^x \ln{2}$, y es el derivado de $e^x$ $e^x \ln{e} = e^x$.

Answer 3

$a>0$

$a^x := e^{x\ln a}$

$f:x\mapsto e^{x\ln a}$

$g:x\mapsto x\ln a$

$f=\exp \circ g$

$f'=g' \times(\exp '\circ g)=(x\mapsto \ln a)\times(\exp\circ g)=(\ln a) \times f$

Answer 4

Una de las definiciones de logaritmo es (ver aquí) $ \log x = \lim_{n \to \infty}\frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}} $$ por lo tanto, denotan $h=\frac{1}{n}$ $$ \lim_{h \to 0} \frac {2 ^ {x + h} -2 ^ x} {h} = 2 ^ x \lim_{h \to 0} \frac {2 ^ h-1} {h} = 2 ^ x \log 2 $$ por lo tanto si sustituye $2$ con la base del logaritmo natural, consigue $(e^x)'_x=e^x$