Encontrar números enteros $x$ y $y$ tal que $$ 1+2^x=3^y.$$ Es evidente que $x = y = 1$ y $x = 3, y = 2$ son soluciones. Creo que otras no lo son. ¿Cómo demostrarlo?
Respuestas
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Caso 1: $y$ es impar. Entonces $3^y \equiv 3 \mod 8$ . Cuando es $2^x \equiv 2 \mod 8$ ?
Caso 2: $y = 2 z$ está en paz. Entonces $2^x = 3^{2z} - 1 = (3^z - 1)(3^z + 1)$ Así que $3^z - 1$ y $3^z + 1$ son potencias de $2$ . ¿Qué poderes de $2$ difieren en $2$ ?
Por cierto, esta demostración de un caso especial de la conjetura de Catalán se remonta a Gersonides (Levi ben Gershon) en 1343.
Old John
Puntos
16308
Está claro que en este caso la solución de Robert Israel, muy elegante, es perfecta, pero cabe destacar que lo que tenemos aquí es un caso especial de La conjetura de Catalán (ahora un teorema, demostrado por Preda Mihăilescu ) que establece que la única solución de
$$x^a - y^b = 1$$ en números enteros (mayores que 1) viene dada por $3^2-2^3 = 1$ Así que tienes razón, no hay otras soluciones.
