Metodologías para evaluar $\lim_{L\to \infty}\int_0^\infty \frac{\sin(Lx)}{x}\cos(x^3/3)\,dx$

Question

En Esta Respuesta, escribí

"Es sencillo mostrar que $\displaystyle \lim_{L\to \infty}\int_0^\infty \frac{\sin(Lx)}{x}\,\cos(x^3/3)\,dx=\frac\pi2$."

La integridad, la he incluido el "método directo" que tenía en mente en lo que ahora sigue.

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En primer lugar, para cualquier $\nu>0$ podemos escribir

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{\sin(Lx)}{x}\,\cos(x^3/3)\,dx-\frac\pi2&=\int_0^{\nu} \frac{\sin(Lx)}{x}\,\left(\cos(x^3/3)-1\right)\,dx\\\\ &+\int_{\nu}^\infty \frac{\sin(Lx)}{x}\,(\cos(x^3/3)-1)\,dx\\\\ &=\int_0^{\nu L} \frac{\sin(x)}{x}\,\left(\cos\left(\frac{x^3}{3L^3}\right)-1\right)\,dx\\\\ &+\int_{\nu L}^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\left(\cos\left(\frac{x^3}{3L^3}\right)-1\right)\,dx \tag1 \end{align}$$

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La segunda integral en el lado derecho de la $(1)$ converge impropia de Riemann integral, que puede ser mostrado ser la integración por partes con $u=\frac{\sin(Lx)}{x^3}$$v=\sin(x^3/3)$. Y la integración por partes con $u=\frac{\cos(x^3/3)}{x}$ $v-\frac{\cos(Lx)}{L}$ facilita que muestran que el límite de $L\to \infty$$0$.

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Segundo, dado $\epsilon>0$, existe un $\delta>0$ tal que $|\cos(x^3/3L^3)-1|<\epsilon$ siempre $|x|<\delta$. Tomamos $\nu <\min(\delta, (3\pi)^{1/3})$. Desde $\cos(x^3/3L^3)-1$ es la disminución de $x\in [0,\nu L]$, el segundo valor medio teorema garantiza que existe un número $\xi \in (0,\nu L)$ tal que

$$\begin{align} \left|\int_0^{\nu L} \frac{\sin(x)}{x}\,\left(\cos\left(\frac{x^3}{3L^3}\right)-1\right)\,dx\right|&=\left|\left(\cos\left(\frac{\nu^3}{3}\right)-1\right)\right|\,\left|\int_\xi^{\nu L}\frac{\sin(x)}{x}\,dx\right|\\\\ &<\epsilon \pi/2 \end{align}$$

de donde vemos que $\lim_{L\to \infty}\int_0^{\nu L} \frac{\sin(x)}{x}\,\left(\cos\left(\frac{x^3}{3L^3}\right)-1\right)\,dx=0$. Y hemos terminado!

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Mientras que el enfoque dado es un estándar de uno, estoy interesado en ver "mejor, más fuerte, más rápido" enfoques. Por ejemplo, el uso directo de los Dominados teorema de Convergencia a $\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\cos(x^3/3L^3)\,dx$ no parece aplicable en este caso. La de Riemann-Lebesgue Lema falla desde $\frac{\cos(x^3/3)}{x}$ no $L^1$. La función de $\cos(x^3/3)$ no tiene soporte compacto en $\mathbb{R}$. Y la integración por partes de los esquemas no han aparecido para ser esclarecedor. Así, hay un "mejor, más fuerte, más rápido" enfoque?

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$\ds{\lim_{L \to \infty}\int_{0}^{\infty} {\sin\pars{Lx} \over x}\,\cos\pars{x^{3} \over 3}\,\dd x = {\pi \over 2}:\ {\large ?}}$.

\begin{align} &\mbox{Lets}\quad \mrm{f}\pars{L} \equiv \int_{0}^{\infty}{\sin\pars{Lx} \over x}\,\cos\pars{x^{3} \over 3}\,\dd x \implies \left\{\begin{array}{rcl} \ds{\mrm{f}'\pars{L}} & \ds{=} & \ds{\int_{0}^{\infty}\cos\pars{Lx}\cos\pars{x^{3} \over 3}\,\dd x} \\[2mm] \ds{\mrm{f}\pars{0}} & \ds{=} & \ds{0} \end{array}\right. \\[5mm] &\ \mrm{f}'\pars{L} = {1 \over 2}\bracks{% \int_{0}^{\infty}\!\!\!\cos\pars{{1 \over 3}\,x^{3} - Lx}\,\dd x + \int_{0}^{\infty}\!\!\!\cos\pars{{1 \over 3}\,x^{3} + Lx}\,\dd x} = {1 \over 2}\,\pi\,\bracks{\mrm{Ai}\pars {L} + \mrm{Ai}\pars{L}} \end{align} donde $\ds{\mrm{Ai}}$ es el $\ds{\mrm{Ai}}$ Función de Airy. La anterior a la última expresión conduce a

$\ds{\mrm{f}\pars{L} = {1 \over 2}\,\pi\int_{0}^{L} \bracks{\mrm{Ai}\pars{-x} + \mrm{Ai}\pars{x}}\,\dd x}$.

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A continuación, \begin{align} &\lim_{L \to \infty}\int_{0}^{\infty} {\sin\pars{Lx} \over x}\,\cos\pars{x^{3} \over 3}\,\dd x = {1 \over 2}\,\pi\int_{0}^{\infty} \bracks{\mrm{Ai}\pars{-x} + \mrm{Ai}\pars{x}}\,\dd x \\[5mm] = &\ {1 \over 2}\,\pi\bracks{\int_{-\infty}^{0}\mrm{Ai}\pars{x}\,\dd x + \int_{0}^{\infty}\mrm{Ai}\pars{x}\,\dd x} \end{align}

Sin embargo, $\ds{\int_{-\infty}^{0}\mrm{Ai}\pars{x}\,\dd x = {2 \over 3}}$ y $\ds{\int_{0}^{\infty}\mrm{Ai}\pars{x}\,\dd x = {1 \over 3}}$ que se dan en el DLMF Aireado Función de la Página.

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Finalmente, $$ \bbx{\lim_{L \to \infty}\int_{0}^{\infty} {\sin\pars{Lx} \over x}\,\cos\pars{x^{3} \over 3}\,\dd x = {\pi \over 2}} $$