¿Cómo demostrarías que la función Zeta de Riemann, $\zeta(s) < 0$ para $s \in (0,1)$ ?

Question

¿Cómo demostrarías que la función Zeta de Riemann, $\zeta(s) < 0$ para $s \in (0,1)$ ?

Hasta ahora tengo que a lo largo de la franja crítica

\begin{align} \zeta(s) &= \left(\frac{2^{s-1}}{2^{s-1}-1}\right)\phi(s)\\ &= \left(\frac{1}{1-2^{1-s}}\right)\phi(s)\\ &= \left(\frac{1}{1-2^{1-s}}\right)\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^s} \end{align}

Donde $\phi(s)$ es la función zeta alterna de Euler. (que converge para $s > 0$ ) ¿Cómo demostrarías que esto es siempre negativo cuando $s \in (0,1)$ ?

Answer 1

Si $s\in(0,1)$ entonces $\frac{1}{1-2^{1-s}}<0$ , mientras que $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^s}$$ es positivo debido al criterio de Leibniz.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \varphi(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^s}=\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{(2k-1)^s}-\frac{1}{(2k)^s}\right)>0, $$ como $$ \frac{1}{(2k-1)^s}>\frac{1}{(2k)^s}. $$

Answer 3

He aquí un enfoque que utiliza la integral para $\zeta(z)\Gamma(z)$ y una simple continuación analítica.

Complejo de cera: Para $\mathrm{Re}(z)\gt1$ tenemos $$ \begin{align} \zeta(z)\Gamma(z) &=\int_0^\infty\frac{t^{z-1}}{e^t-1}\mathrm{d}t\\ &=\frac1{z-1}\int_0^\infty\frac{t}{e^t-1}\mathrm{d}t^{z-1}\\ &=\frac1{z-1}\int_0^\infty t^{z-1}\frac{1+(t-1)e^t}{(e^t-1)^2}\mathrm{d}t\tag{1} \end{align} $$ Desde $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[1+(t-1)e^t\right]=te^t\ge0$ para $t\ge0$ el integrando es positivo. La integral en $(1)$ también converge para $\mathrm{Re}(z)\gt0$ y es analítico. Por lo tanto, $(1)$ representa la continuación analítica de $\zeta(z)\Gamma(z)$ a $\mathrm{Re}(z)\gt0$ .

De vuelta al mundo real: Desde $\Gamma(z)\gt0$ para $z\gt0$ , $(1)$ dice que $\zeta(z)\lt0$ para $0\lt z\lt1$ .