Usando el teorema de la identidad: ¿puede haber una función analítica $f$ con $f\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n}$

Question

Tal y como lo expone Conway, el teorema es el siguiente:

Dejemos que $G$ sea un conjunto abierto conexo y que $f:G\rightarrow \mathbb{C}$ es analítico en $G$ . Entonces el TFAE:

1. $f\equiv0$
2. $\{z\in G: f(z)=0 \}$ tiene un punto límite en $G$ .

Me confundo cuando tengo que usar esto para resolver problemas. Mi entendimiento sobre esto es algo así como "si $f$ llega a cero a lo largo de una determinada secuencia" entonces la función debe ser idénticamente cero. ¿Es este pensamiento correcto? Incluso si lo es, quiero que alguna buena explicación sobre esto. Además, si alguno de ustedes pudiera dar una buena referencia a esto también ayudaría.

Por ejemplo, ¿qué podemos decir de una función analítica $f:\mathbb C\rightarrow \mathbb C$ , de tal manera que $f\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n}$ . ¿Puede existir tal función? ¿Podemos incluso utilizar el teorema de la identidad para responder a esta pregunta? Muchas gracias por su tiempo.

Answer 1

Lo que has dicho sobre $f$ ir a cero a lo largo de una secuencia no es del todo correcto. Considere $a_n = \frac{1}{n}$ y $f(z) = z$ . Tenemos $f\left(\frac{1}{n}\right) \to 0$ como $n \to \infty$ pero $f$ no es idéntico a cero. Sin embargo, si $f : G \to \mathbb{C}$ es holomorfa (analítica), y existe una secuencia ${a_n}$ sur $G$ con $a_n \to a \in G$ y $f(a_n) = 0$ para todos $n$ entonces $f(a) = 0$ (por continuidad), y por tanto el conjunto $\{z \in G : f(z) = 0\}$ contiene el punto límite $a$ . Por lo tanto, $f$ es idéntico a cero.

En cuanto a su segunda pregunta, suponga $f$ existe y consideramos la función holomorfa $z \mapsto f(z^2) - z$ . ¿Cuáles son sus valores en $a_n = \frac{1}{n}$ ? ¿Qué nos dice eso sobre $f$ ?