fronteridad de un operador

Question

Definir $T: L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R})$$(Tf)(x)=\int_{\mathbb{R}}\frac{f(y)}{1+|x|+|y|}dy$.

Es este operador acotado? Si es así, entonces es también compacto?

Me quedé atrapado en la simple aplicación de Cauchy-Schwarz desigualdad de demostrar que es acotada.

Cualquier sugerencia sobre este problema? Gracias de antemano!

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Comentario:

1, he tratado de establecer las $f_n(y)=\frac{1}{\sqrt{n}}1_{[0,n]}$, $\{||Tf_n||_2\} $ son uniformemente acotada, así que supongo que $T$ es un operador acotado.

Más detalles como los siguientes:

Como en el anterior, tome $f_n(y)=\frac{1}{\sqrt{n}}1_{[0,n]}$,$(Tf_n)(x)=\frac{1}{\sqrt{n}}\int_0^n\frac{1}{1+|x|+y}dy$,

por lo $||Tf_n||_2^2=\int_{\mathbb{R}^1}\frac{1}{n}|\int_0^n\frac{1}{1+|x|+y}dy|^2dx=\int_{\mathbb{R}^1}\frac{1}{n}(ln(1+|x|+y)|_{y=0}^{y=n})^2dx=\int_{\mathbb{R}^1}\frac{1}{n}(ln(\frac{1+|x|+n}{1+|x|}))^2dx=\frac{2}{n}\int_0^{\infty}(ln(\frac{1+x+n}{1+x}))^2dx=\frac{2}{n}\int_1^{\infty}(ln(1+\frac{n}{y}))^2dy\overset{z=\frac{n}{y}}{=}2\int_{0}^n\frac{ln(1+z)^2}{z^2}dz\leq 2\int_{0}^{\infty}\frac{ln(1+z)^2}{z^2}dz$, mientras que desde $z\to 0, \frac{ln(1+z)^2}{z^2}\to 1; z\to\infty, \frac{ln(1+z)^2}{z^2}\leq \frac{1}{z^{1+\epsilon}}, \forall 0<\epsilon<1$, el valor de esta integral es finito.

2, tenga en cuenta que el kernel $K(x,y)=\frac{1}{1+|x|+|y|}$ que aparecen aquí no pertenece a $L^2(\mathbb{R})$; de lo contrario, todos los problemas pueden ser resueltos, por ejemplo, ver Hilbert-Schmidt operador

Answer 1

$T$ es acotada pero no compacto.

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A ver $T$ es acotado, dado $f\in L^2(\mathbb{R})$, para el cambio de las variables de $y=xt$(al $x\ne 0$ es fijo), tenemos $$|Tf(x)|\le\int_{\mathbb{R}}\frac{|f(y)|}{|x|+|y|}dy=\int_{\mathbb{R}}\frac{|f(xt)|}{1+|t|}dt.\tag{1}$$ La aplicación de Minkowski integral de la desigualdad a $(1)$ y el uso de los cambios de las variables de $x=\frac{y}{t}$(al $t\ne 0$ es fijo) y $t=s^2$ sucesivamente, tenemos $$\|Tf\|_2\le\int_{\mathbb{R}}\frac{\big(\int_{\mathbb{R}}|f(xt)|^2dx\big)^{\frac{1}{2}}dt}{1+|t|}=\int_{\mathbb{R}}\frac{\big(\int_{\mathbb{R}}|f(y)|^2dy\big)^{\frac{1}{2}}dt}{|t|^\frac{1}{2}(1+|t|)}=\int_{\mathbb{R}}\frac{2\|f\|_2ds}{1+s^2}=2\pi\|f\|_2.$$ De ello se desprende que $\|T\|_2\le 2\pi$, es decir, $T$ está acotada.

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A ver $T$ no es compacto, como en su pregunta, vamos a $f_n(y)=\frac{1}{\sqrt{n}}1_{[0,n]}$. Desde $\|f_n\|_2=1$, es suficiente para mostrar que $\{Tf_n\}$ no tiene Cauchy larga en $L^2(\mathbb{R})$. Por definición, $$Tf_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n}}\log(1+\frac{n}{1+|x|}).$$ Dado $n\in\mathbb{N}$, vamos a $m\gg n$, decir $m\ge 144n$. Al $m\le |x|\le 2m$,

$$|Tf_m(x)|\ge\frac{1}{\sqrt{m}}\log(1+\frac{m}{1+2m})\ge\frac{1}{3\sqrt{m}},$$

y $$|Tf_n(x)|\le \frac{1}{\sqrt{n}}\log(1+\frac{n}{m})\le\frac{\sqrt{n}}{m}\le\frac{1}{12\sqrt{m}}.$$

De ello se sigue que cuando $m\le |x|\le 2m$, $|Tf_m(x)-Tf_n(x)|\ge\frac{1}{4\sqrt{m}}$, y por lo tanto

$$||Tf_m-Tf_n||_2\ge 2\big(\int_m^{2m}|Tf_m-Tf_n|^2dx\big)^{\frac{1}{2}}\ge \frac{1}{2}.\tag{2}$$ $(2)$ implica que para cualquier subsequence $\{f_{n_k}\}$ de $\{f_n\}$, $\{Tf_{n_k}\}$ no puede ser una secuencia de Cauchy en $L^2(\mathbb{R})$, es decir, $T$ no es compacto.