Este argumento es una combinación de varios hechos, podemos formular en general como:
En un secuencial UL espacio de $X$ secuencialmente compacto subespacio $A$ es cerrado.
Definiciones:
Un espacio de $X$ es secuencial si todos secuencialmente cerrado los subconjuntos cerrados.
Un subconjunto $A \subset X$ de un espacio de $X$ es de forma secuencial cerrado iff para todas las secuencias de $(x_n)$ tal que $\forall n: x_n \in A$$x_n \to x$$X$, sabemos que $x \in A$. (los límites de las secuencias de $A$ $A$ también).
- Un espacio UL si secuencias convergentes han únicos límites. Así que para todas las secuencias de $(x_n)$: al$x_n \to x$$x_n \to y$$x=y$.
- Un espacio de $X$ es secuencialmente compacto si cada secuencia tiene una convergente larga.
Prueba de la primera declaración, básicamente, escribe a sí mismo: vamos a $A$ secuencialmente compacto (como un subespacio de $X$), y supongamos por contradicción que $A$ no está cerrado en $X$. Como $X$ es secuencial, $A$ no puede ser cerrado de forma secuencial, de modo que existe una secuencia $(x_n)$ tal que $x_n \to x$ y todos los $x_n \in A$, y de tal manera que $x \notin A$. Pero como $(x_n)$ es una secuencia en $A$, $A$ se secuencialmente compacto significa que hay un $a \in A$ y una larga $x_{n_k}$ de la secuencia de $(x_n)$ que converge a $a$. Pero en $X$, cada subsequence de $(x_n)$ también converge a $x$, así que por un lado $x_{n_k} \to x$, pero también se $x_{n_k} \to a$. La UL de la propiedad, a continuación, las fuerzas de $a = x$ mientras $a \in A, x \notin A$, contradicción. Por lo $A$ es cerrado.
Compacto implica cerrado en la métrica de los espacios de la siguiente manera a partir de lo anterior, debido a que:
todos los espacios métricos son secuenciales (desde la primera countability, como también el uso, tomando una contables de la colección de abrir las bolas) y también UL (de Hausdorff, que es la razón por la que usted puede tomar el interesection cerrado de bolas para obtener el singleton).
En un espacio métrico compacto es equivalente al límite de punto de compacidad, que también es equivalente a la compacidad secuencial (la última equivalencia mantiene en todos los secuencial espacios de Hausdorff).
Su exacta de la prueba también puede ser generalizada en términos generales de la siguiente manera:
Un countably subconjunto compacto $A$ de un primer contables espacio de Hausdorff $X$ es cerrado en $X$.
Para, supongamos que $A$ no está cerrado, y elegir un punto a $x \in \overline{A}\setminus A$. Deje $U_n(x)$ ser un contable de base local en $x$.
A continuación, $$\cap_n \overline{U_n(x)} = \{x\}\text{:}$$
El derecho a la izquierda de la inclusión es trivial. Tomar cualquier $y \neq x$ $x$ $y$ tienen distintos barrios de $U_x$$U_y$. Para algunos $n$, $U_n(x) \subseteq U_x$ por definición de una base local. El hecho de que $U_y \cap U_n(x) \subseteq U_y \cap U_x = \emptyset$ muestra que $y \notin \overline{U_n(x)}$, lo $y \notin \cap_n \overline{U_n(x)}$, lo que demuestra la inclusión de izquierda a derecha.
A continuación, defina $O_n = X \setminus \overline{U_n(x)}$, que son bloques abiertos.
Cubren $A$$$\cup_n (X \setminus \overline{U_n(x)}) = \text{ (de Morgan) } X \setminus \cap_n \overline{B_n(x)}= X \setminus \{x\} \supseteq A$$.
Como $A$ es countably compacto, podemos encontrar un número finito de subcover $O_{n_1}, \ldots, O_{n_k}$ de la $O_n$, y como $\cap_{i=1}^k B_{n_i}(x)$ es una vecindad de a $x$, se cruza $A$ en un punto de $a$ ( $x \in \overline{A}$ ). A continuación, $a \notin O_{n_i}$ cualquier $i= 1,\ldots k$, contradiciendo el hecho de que es un subcover.
Este último muestra que $A$ es cerrado.
El teorema anterior es clásica, e incluso puede ser generalizada más creo, y sus pruebas utiliza este mismo argumento, la explotación de ese compacto implica countably compacto y cualquier espacio métrico es la primera contables y Hausdorff. Estos último hecho también eneabled la secuencia basada en una prueba así.
