Resolver la ecuación $(x+1)xy''+(x+2)y'-y=0$

Question

Encuentra la solución general de la ecuación $(x+1)xy''+(x+2)y'-y=0$ dado que una de las soluciones es un polinomio.

Esto es lo que hice: conectar $y=Ax^2+Bx+C$ encontramos que $y_1=x+2$ resuelve la ecuación. Entonces podemos intentar encontrar una solución de la forma $y_2=y_1 z = (x+2) z$ . De la ecuación diferencial original obtenemos $z''+\left ( \frac{2}{x+2}+\frac{x+2}{x(x+1)} \right)z'=0$ . Entonces debemos hacer la descomposición de la fracción y la sustitución $w=z'$ por lo que obtenemos $w=\frac{x+1}{x^2 (x+1)^2}$ . Entonces tenemos que integrar la función $\frac{x+1}{x^2 (x+1)^2}$ lo que requiere la descomposición de la fracción una vez más y llegamos al resultado $z=-\frac{1}{2x(x+2)}$ que a su vez nos da $y_2=-1/(2x)$ .

Aunque obtuve el resultado correcto me pregunto si hay una forma más sencilla de llegar a esta solución (evitando tantas descomposiciones de fracciones e integraciones que omití aquí). ¿Quizás haya alguna sustitución mejor que funcione?

Answer 1

Dejemos que $z=xy$ tenemos que $$z'=y+xy'\\ z''=2y'+xy''$$ entonces la ecuación se convierte en $$(x+1)z''-z'=0$$ cuyas soluciones son $$z=k(x^2+2x)+b$$ donde $k,b\in \Bbb R$ .
Por lo tanto, $$y=k(x+2)+{b\over x}$$