¿Cuál es la estructura subyacente que hace esta analogía tan bueno?

Question

En "Álgebra Lineal se Hace la Derecha", el autor dibuja (en mi opinión) un fantástico paralelo entre el $\mathbb{C}$ $\mathcal{L}(V)$ (donde $V$ $\mathbb{F}$- producto interior en el espacio). En esta analogía, que establece:

• Un número complejo $z$ corresponde a un operador $T$,
• El conjugado $\overline{z}$ corresponde a la adjoint $T^*$,
• El complejo número de $z$ es real corresponde a $T$ ser auto-adjunto,
• El complejo número de $z$ es no negativo corresponde a $T$ ser positivo-semidefinite,
• El complejo número de $z$ satisface $|z| = 1$ corresponde a $T$ ser una isometría ($TT^* = I$),

entre otros. Soy curioso, aunque si hay alguna estructura subyacente de la vinculación de $\mathbb{C}$ $\mathcal{L}(V)$ que hace el paralelo tan grande (sé que ambos son espacios vectoriales), o se trata simplemente de una coincidencia de observación por el autor?

Answer 1

No es una coincidencia. puede considerarse $\mathbb C$ $\mathcal L(V)$ en el caso de $V$ de dimensión uno.

Si lo desea, puede ver las nociones del adjoint, positivo, etc., para los operadores como las derecha generalizaciones de las nociones correspondientes de $\mathbb C$.