Objeto
El término objeto en matemáticas es un flojo plazo. En la mayoría de los casos, es algo que puede actuar o hacer algo. Ellos son los "nombres" en el lenguaje de las matemáticas.
Una buena regla de oro, es un objeto matemático es algo que en la etiqueta. El punto de $p$, la línea de $AB$, el número de $n$, la función de $f$, la matriz $A$, el grupo de $G$, el colector $M$, ...
No todo es un objeto. Cuando usted dice $2 \cdot 3 = 6$, la multiplicación no es realmente un objeto. Aquí es más como una acción de un verbo. Sin embargo, las funciones de $f(x) = 2\cdot x$ o $g(x,y)=x\cdot y$ que encapsulan la misma multiplicación sería consideran objetos. Es una cuestión de contexto o perspectiva. En el primer ejemplo de la multiplicación, realmente no se puede hacer nada al $\cdot$ operador. Podemos hacer cosas para las funciones. Podemos añadir: $f(x)+g(x,y)=2x+xy$, podemos multiplicar: $f(x)\cdot g(x,y)=2x^2y$, podemos elevar al poder de los otros: $g(x,y)^{f(x)}=(xy)^{2x}$. Tenga en cuenta que $g(2,3)=2\cdot 3=6$ es igual que el primer ejemplo, pero la encapsulación de la multiplicación (verbo) en una función (sustantivo), permitió a la tratan como un objeto y realizar acciones.
Representación
No es preciso decir que todos los objetos matemáticos representan los números. Mientras que hay muchos que lo hacen, y hay muchos que se comportan de la misma manera que los números de hacer, hay muchos objetos que no representan nada numérica. El grupo $D_{2\cdot 3}$ es un conjunto de elementos $\{i,r,r^2,f,fr,fr^2\}$. (Un grupo es un conjunto cuyos elementos se relacionan entre sí de una manera especial con respecto a una operación.) Este grupo no es la representación de un número, pero más al punto, los elementos no representan números. Ellos son el de rotación y el flip simetrías de un triángulo equilátero. Los giros y rotaciones no representan números. Sin embargo, necesitamos una manera de representar y utilizar la operación que hace que este conjunto de un grupo. Podríamos definir cualquier operación que nos gusta, pero es conveniente para la restructuración de la multiplicación para representar la operación. Por lo tanto podríamos decir $f$ veces $r$$fr$. Este no es el mismo que la multiplicación se utiliza con números (no vas a comenzar a llevar dígitos), pero se comporta de manera similar, por lo que es fácil de utilizar de la misma manera.
Tampoco es exacto decir que las matrices de representar los números. Por un lado, con los números de $a$ y $b$, $ab=ba$, pero con matrices $A$$B$, es generalmente el caso de que $AB \ne BA$. No hay números reales que estas matrices pueden representar, porque siempre se puede cambiar el orden de la multiplicación con números reales. A menudo, las matrices se representan los procesos. Si usted tiene vectores $b$ $x$ y una matriz de $A$, entonces en la ecuación $b=Ax$, $x$ podría representan las ubicaciones de todas las partes de un puente antes de que una fuerza se aplica, $A$ podría representar la aplicación de la fuerza, y $b$ podría representar las ubicaciones de todas las partes después de la fuerza aplicada. En otro contexto, alguien podría usar una diferente de la ecuación de $bx^T \approx A$ donde la matriz $A$ representa algunos de los datos que fue tomada (una imagen, o una huella dactilar) y $x$ $b$ sería la versión comprimida que se almacenan en el equipo (esta sería una muy mala compresión, a menos que no fueron muchos más los vectores en el lado izquierdo). En estos dos ejemplos, los objetos no representan números, pero los datos (conjuntos de números) y un proceso. Los objetos tenían números dentro de ellos, y que es la forma más común de estos objetos se utilizan, pero al igual que con el grupo de simetrías de un triángulo, vectores y matrices pueden contener elementos que no son números en cualquier forma.
Matriz vs Matriz vs Número de
Sin embargo, un matrice es considerado un "array". ¿De dónde viene esta premisa de llegar a una concreta definición si las matrices pueden ser de hecho numérica?
¿Por qué es una "matriz" se consideran distintas de un número, si ambos pueden ser exactamente la misma cosa?
Voy a mostrar un ejemplo de las matrices que se espera que aclarar. Vamos a multiplicar
$$A =
\left[ \begin{array}{cc}
3 & 8 \\
7 & 4 \\
5 & 6
\end{array} \right], \text{ y } x =
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
2
\end{array} \right].$$
Un vector es una matriz con una anchura de 1 columna, a una altura de 1 fila.
$$Ax =
\left[ \begin{array}{cc}
3 & 8 \\
7 & 4 \\
5 & 6
\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
2
\end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{c}
3 \cdot 1 + 8 \cdot 2 \\
7 \cdot 1 + 4 \cdot 2 \\
5 \cdot 1 + 6 \cdot 2 \\
\end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{c}
18 \\
15 \\
17
\end{array} \right]$$
Cuando multiplicamos las matrices (y vectores), las dimensiones de la materia. Nota: en este caso:
$$(3 \text{ x } 2)\cdot (2 \text{ x } 1) = (3 \text{ x } 1).$$
Las dimensiones en el interior del producto tienen que coincidir, y desaparecen, y las dimensiones en el exterior se convierten las dimensiones del resultado. Siempre coincide con este patrón:
$$(m \text{ x } n)\cdot (n \text{ x } p) = (m \text{ x } p).$$
Ahora considere la posibilidad de esta matriz producto:
$$\left[ 2 \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc}
3 & 8 \\
7 & 4 \\
5 & 6
\end{array} \right] = ???$$
Yo no puedo hacer eso. La multiplicación no está definido debido a las dimensiones de la primera matriz y la segunda matriz no coinciden en el interior del producto:
$$(1 \text{ x } 1) \cdot (3 \text{ x } 2) = ???$$
Sin embargo, puedo hacer un diferente tipo de multiplicación y multiplicar números veces matrices:
$$2 \cdot
\left[ \begin{array}{cc}
3 & 8 \\
7 & 4 \\
5 & 6
\end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
2 \cdot 3 & 2 \cdot 8 \\
2 \cdot 7 & 2 \cdot 4 \\
2 \cdot 5 & 2 \cdot 6
\end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
6 & 16 \\
14 & 8 \\
10 & 12
\end{array} \right].$$
Yo no tiene que preocuparse acerca de las dimensiones, ya que un número no tiene dimensiones. Para ilustrar la diferencia entre los números y las matrices, esta es la matriz del producto que sería el equivalente a multiplicar por el número de $2$ por encima de:
$$\left[ \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc}
3 & 8 \\
7 & 4 \\
5 & 6
\end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
2 \cdot 3 + 0 \cdot 7 + 0 \cdot 5 & 2 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 6 \\
0 \cdot 3 + 2 \cdot 7 + 0 \cdot 5 & 0 \cdot 8 + 2 \cdot 4 + 0 \cdot 6 \\
0 \cdot 3 + 0 \cdot 7 + 2 \cdot 5 & 0 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 2 \cdot 6
\end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
6 & 16 \\
14 & 8 \\
10 & 12
\end{array} \right].$$
Esto muestra que los números y las matrices NO son del mismo: $2 \ne [2]$. Del mismo modo, un número y el conjunto que contiene ese número como un elemento no son los mismos: $3 \ne \{3\}$. Estos dos conjuntos puede ser igual: $\{b\}=\{3\}$ y de estos dos números (que son elementos de los conjuntos) puede ser igual: $b=3$. Matrices, números, conjuntos y elementos de los conjuntos son todos diferentes objetos, y un objeto sólo puede ser exactamente igual a otro objeto del mismo tipo.
La filosofía
La matemática es exactamente el opuesto de inestable. Hay conceptos difíciles, que puede tomar algún tiempo para entender completamente, pero los fundamentos de las matemáticas son muy concreto y preciso. Algunas cosas, como la palabra objeto no son rigurosamente definido, porque el significado varía mucho de un contexto a la siguiente. Sin embargo, no es estrictamente importante lo que el significado de esa palabra. No hay matemáticas que se basa en el significado de esa palabra. Es un término informal, que permiten a los matemáticos para transmitir una noción general. Cosas que hacer de la materia son siempre con claridad y precisión definida. Eso no quiere decir que todos son inmediatamente evidentes a usted (o a mí) o cualquier otra persona que no ha sido enseñado en la particular de conceptos y definiciones y notaciones necesarias para, precisamente interpretar el significado. Una cosa que le servirá bien es para asegurarse de que su comprensión de algo que es claro como el cristal. Si usted piensa que usted entiende algo, seguir estudiando y preguntando hasta que usted sabe que usted lo entiende. Una cosa que tiene un enorme impacto en su capacidad para hacer sentido de las cosas es que se les está enseñando a usted, y cómo se está enseñando. Mantener a la misma, y seguir haciendo preguntas. :-)
