Teorema del apretón para la convergencia en distribución

Question

Que $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(X'_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $Y$ real variables aleatorias tales que $$X_n\leq Y\leq X'_n \quad\forall n\in\mathbb{N}\ .$ $ Supongamos que las secuencias $X_n$e $X'_n$ convergen al mismo límite en la distribución (es decir, en la ley, débil), que es$$ X_n\xrightarrow[n\to\infty]{d} X \quad\text{e}\quad X'_n\xrightarrow[n\to\infty]{d} X\ . entonces es cierto ese % $Y\ \overset{\,d}=\ X\ ?$

Answer 1

Límite en variables aleatorias de distribución %#% reales de #% valorada es equivalente al hecho de que $Z_n\to Z$ cada $\mathbb P(Z_n\leqslant x)\to\mathbb P(Z\leqslant x)$ en que la función $x$ es continuo.

En el presente caso, para cada $F_Z:z\mapsto\mathbb P(Z\leqslant z)$ $x$ y tanto % convergen $\mathbb P(X'_n\leqslant x)\leqslant F_Y(x)\leqslant\mathbb P(X_n\leqslant x)$y $\mathbb P(X'_n\leqslant x)$ $\mathbb P(X_n\leqslant x)$ cuando $F_X(x)$, cada $n\to\infty$de % que $x$ es continua. Por lo tanto, $F_X$en cada punto de continuidad de % de $F_Y=F_X$. Tanto % están continuas a la derecha por lo tanto, $F_X$y $F_X$ $F_Y$ en todas partes, es decir, $F_X=F_Y$.