¿Por qué $\kappa^{<\kappa}=2^{<\kappa}$, si $\kappa$ es regular y limitar el cardenal?

Question

En la página 60, establece la teoría Jech(2006)

(Ver) si $\kappa$ es regular y limitar, luego $\kappa^{<\kappa}=2^{<\kappa}$.

No es difícil demostrar que $\kappa^{<\kappa}\geq2^{<\kappa}$. Pero no sé cómo mostrar al revés.

Reescritura de $\kappa^{<\kappa}$ $sup_{\lambda<\kappa} \{sup_{\alpha<\kappa}{\alpha^\lambda}\}$. Parece prometedor, si puedo cambiar dos $sup$ operadores. Pero la verdad generalmente no es legítimo que no estoy seguro. No encuentro el tema de convergencia como en análisis Real.

Answer 1

Deje $\lambda<\kappa$, y considerar la posibilidad de $2^\lambda$. Cualquiera de las $2^\lambda\le \kappa$, o no. En el último caso, $2^\lambda\le \kappa^\lambda\le (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda$, lo que en realidad $2^\lambda=\kappa^\lambda$.

Ahora hay dos casos: O $2^\lambda\le\kappa$ todos los $\lambda<\kappa$ o $2^\lambda>\kappa$ para todos lo suficientemente grande $\lambda<\kappa$, decir $\lambda\ge\lambda_0$. En el segundo caso, tenemos $\kappa^{<\kappa}=\sup_{\lambda_0\le \lambda<\kappa}\kappa^\lambda=\sup_{\lambda_0\le\lambda<\kappa}2^\lambda=2^{<\kappa}$.

En el primer caso, $2^{<\kappa}=\kappa$. Sólo tenemos que comprobar que también tenemos $\kappa^{<\kappa}=\kappa$. Pero si $\rho<\kappa$, e $f:\rho\to\kappa$, $f$ es acotado, por la regularidad de $\kappa$, lo $f:\rho\to\tau$ para algunos cardenal $\tau<\kappa$. Deje $\lambda=\max\{\rho,\tau\}$. A continuación,$\tau^\rho\le\lambda^\lambda=2^\lambda\le\kappa$. Hemos terminado, porque sólo se demostró que $${}^{<\kappa}\kappa=\bigcup_{\tau<\kappa}\bigcup_{\rho<\kappa}{}^\rho\tau,$$ and the right hand side has size at most $\kappa\times\kappa\times\kappa$. Since the left hand side has size at least $\kappa$, we have that $\kappa^{<\kappa}=\kappa$, y hemos terminado.