¿Cuantas progresiones aritméticas (que tiene 3 términos) pueden hacerse de enteros de 1 a n?

Question

¿Cuantas progresiones aritméticas (que tiene 3 términos) pueden hacerse de enteros de 1 a n? (Los números en el AP son distintos)

For example if n=6 then number of APs possible are 6  

    1,2,3  
    2,3,4  
    3,4,5
    4,5,6  
    1,3,5  
    2,4,6

Answer 1

Uno puede seleccionar cualquier remolque de elementos distintos de la misma paridad. Junto con su media, hacen tal progresión.

Hay $\left\lfloor \frac n2\right\rfloor$números $\le n$ y $\left\lfloor \frac{n+1}2\right\rfloor$ números impares. Puesto que necesitamos seleccionar pares desordenados (o pedir? Pero usted no parece distinguir entre 1,2,3 y 3,2,1), el número total es $$ f(n) = {\left\lfloor \frac n2\right\rfloor\choose 2}+{\left\lfloor \frac {n+1}2\right\rfloor\choose 2}.$ $ $n=2m$ incluso, este asciende a $ #% de %#% y $$ f(n) = 2{m\choose 2}=m(m-1)$ es extraño, a $n=2m+1$ $ ambos pueden también resumirse como $$ f(n) = {m\choose 2}+{m+1\choose 2} = m^2.$ $

Ejemplo: Dejar que $$ f(n) = \left\lfloor\frac n2\right\rfloor\cdot\left\lfloor\frac{n-1}2\right\rfloor.$, obtenemos $n=6$.

Answer 2

Deje que el término tres PA ser $a,a+d,a+2d$ donde $a,d$ son números naturales.

Así, $a\ge1$ y $a+2d\le n\implies 1\le a\le n-2d \implies d\le \frac{n-1}2$

Si $d=1,a$ puede asumir $1,2,\cdots, n-2$ %, es decir, #% valores #%.

Si $n-2$ puede asumir $d=2,a$ %, es decir, #% valores #%.

Si $1,2,\cdots, n-4$, $n-4$

es decir, $n$ $d_{max}=\frac{n-2}2$ tiene 2 valores.

Si $d=\frac {n-2}2,1\le a\le 2$ es par, el número de AP es $a$

Si es impar, $n$ $(n-2)+(n-4)+\cdots+2=\frac{(n-2)}4(2+n-2)=\frac{n(n-2)}4$

Así, en ese caso el número de AP será $n$