Probar una expresión está compuesta

Question

Estoy tratando de demostrar que $ n^4 + 4^n $ es compuesto si $n$ es un número entero mayor que 1. Este es trivial para, incluso, $n$ desde la expresión será incluso si $n$ es incluso.

Este problema se da en una sección donde la inducción se inicia, pero no estoy muy seguro de cómo la inducción podría ser utilizado para resolver este problema. He tratado de examinar las expansiones de la expresión en$n+2$$n$, pero no he encontrado ningún éxito.

Agradecería consejos sobre cómo ir sobre demostrando que la expresión no es primo para impares enteros mayores que 1.

Answer 1

$(n^2)^2+(2^n)^2=(n^2+2^n)^2-2^{n+1}n^2$. Ya que $n$ es raro...

Answer 2

Sugerencia: calcular este valor explícitamente para $n=1,3$ o predecir lo que sucederá. ¿Puedes ver cualquier factor común? ¿Puede usted probar que existe un número $m$ tal que si $n$ es impar, entonces $m|(n^4 + 4^n)$?

Me avisas si necesitas más consejos.

Answer 3

Estoy muy impresionante con el de Adán solución. No es muy cuidada. Así, le ruego me de una oportunidad para escribir la descripción completa acerca de la prueba de paso-por-paso.

• Podemos transformar $n^4+4^n$ $(n^2+2^n)^2-2^{n+1}n^2$como Adán sugerencia por
  1. $n^{(2^2)}+(2^2)^n = (n^2)^2+(2^n)^2$ asociativa de la ley
  2. Ahora, podemos mencionar las $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+2ab+b^2$ algebraicas, multiplicación
  3. $(n^2)^2+(2^n)^2+2(n^2)(2^n)-2(n^2)(2^n)$ añadiendo $+2ab-2ab$ a la expresión
  4. $(n^2)^2+2(n^2)(2^n)+(2^n)^2-2(n^2)(2^n)$ re-organizar la expresión
  5. $(n^2+2^n)^2-2(n^2)(2^n)$ a partir del paso 2
  6. $(n^2+2^n)^2-2^{n+1}n^2$ ley de la Exponencial
• Tratamos de conseguir la $(n^2+2^n)^2-2^{n+1}n^2$ para ajustarse a $a^2-b^2$ porque $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ algebraicas, multiplicación, de nuevo
  1. El tratamiento de $n^2+2^n$ $a$
  2. Desde $n$ es impar, n+1 es par. Por lo tanto, podemos asumir $2m=n+1$ donde $m$ es un entero
  3. Así, la re-escritura de la $2^{n+1}n^2$ $2^{2m}n^2$
  4. $2^{2m}n^2=(n2^m)^2$ asociativa de la ley
  5. El tratamiento de $n2^m$ $b$
• Esto implica que tanto $a$ $b$ son ambos enteros positivos
• De $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ y el resultado de $n^4 + 2^4$, lo que implica que $a$ es mayor que $b$
• Por lo tanto ambos $(a+b)$ $(a-b)$ son enteros positivos, que hace que el resultado de $n^4 + 2^4$ es la combinación de $(a+b)$ $(a-b)$

Answer 4

Algunos interesantes factorizations de un polinomio del tipo $x^4+\text{const}$: $$ x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x-2) \tag{1}$$

$$ x^4+1=(x^2+\sqrt[]{2}x+1)(x^2-\sqrt[]{2}x+1) \tag{2}$$

Así que uno se puede preguntar, ¿cómo seleccionar los coeficientes $a,b,c,d$ en

$$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \tag{3}$$

de tal manera que todos los coeficientes del polinomio resultante son iguales a cero, excepto el término constante y el coeficiente de la 4ª potencia. El segundo es $1$.

Si ampliamos $(3)$ tenemos

$$x^4+(c+a)x^3+(d+a c+b)x^2+(a d+b c)x+b d$$

Y los coeficientes de desaparecer, si

$$ \begin{eqnarray} c+a &=& 0 \\ d+ ac +b &=& 0 \\ ad+bc &=& 0 \end{eqnarray} $$

A la hora de resolver para $b,c,d$ tenemos

$$ \begin{eqnarray} c &=& -a \\ b &=& \frac{a^2}{2} \\ d &=& \frac{a^2}{2} \end{eqnarray} $$

y por lo tanto

$$x^4+\frac{a^4}{4} = (x^2+a x+\frac{a^2}{2})(x^2-ax+\frac{a^2}{2})$$

Para $a=2$ esto da $(1)$, $a=\sqrt[]{2}$ esto le da a $82)$ . Sustituyendo $a=2^{t+1}$ tenemos

$$x^4+4^{2t+1} = (x^2+2\cdot 2^t x+2^{2t+1})(x^2-2\cdot 2^tx+2^{2t+1})$$

Sustituyendo $x=n=2t+1$ da el resultado requerido por extraño $n$.

Answer 5

@Mathmo123 Al observar el comportamiento de la operación de multiplicación, veo..

• $v \times v$ producción $v$
• $v \times o$ producción $v$
• $o \times o$ producción $o$

y para el plus de la operación, puedo ver..

• $v+v$ producción $v$
• $v+o$ producción $o$
• $o+o$ producción $v$

donde $v$ número y $o$ es número impar.

No sé que nadie aviso acerca de esta propiedades, así que yo personalmente el nombre de ellos par-impar multiplicar propiedades y par-impar la suma de las propiedades. Así, la expresión $n^4 + 4^n$, ya que el n es impar($o$). puede ser evaluada a seguir por que las propiedades que serán aislados en:

1. $n^4 = n \times n \times n \times n \equiv o \times o \times o \times o$ , el resultado es $o$
2. $4^n \equiv v \times v \times \cdots \times v$ $n$ veces produce $v$
3. $n^4+4^n \equiv o+v$ , el resultado es $o$

por lo tanto $2|(n^4 + 4^n)$, ya que el $n$ es impar.
Puedo probar de esta manera? Cualquier sugerencia que tengan a bien complacido.

Así, me doy por vencido con esta forma.