Prueba $Con(ZF^-+\neg AC)$ con atoms(urelements).

Question

Saluda

Este ejercicio, II.9.10 de Kunen de la Teoría de conjuntos (2011 ed.), me ha molestado durante un tiempo:

Trabajo en $\mathsf{ZFC^-}$ y se supone que hay un conjunto infinito $T$ tal que $x=\{x\}$ todos los $x\in T$. Deje $M$ ser la clase de todos los $y\in WF(T)$ tal que para algunos finito $A\subseteq T$, $\hat\pi(y)=y$ para todas las permutaciones $\pi$ $T$ tal que para algunos finito $A\subseteq T$, $\pi\upharpoonright A=id_A.$ Demostrar que $T\in M$, $M$ es un modelo transitivo de $\mathsf{ZF^-}$$(\mathsf{AC})^{WF}$" $T$ no puede ser bien ordenado".

Donde $WF(T)$ es la clase construida de la siguiente manera:

1. $R(0,T)=T$
2. $R(\alpha+1)=\mathcal P (R(\alpha,T))$
3. $R(\gamma,T)=\bigcup_{\alpha<\gamma}R(\alpha,T).$

Vamos $WF(T)=\bigcup_{\alpha\in ON}R(\alpha,T).$ $\hat\pi$ es la extensión natural de $\pi$ a todos los de $WF(T)$; por lo que el $\forall x,y\in WF(T)[x\in y\leftrightarrow \hat\pi(x)\in\hat\pi(x)].$

Yo no podía probar que $M$ es un modelo de $\mathsf{ZF^-}$, e incluso no llegar a ese $M$ es transitiva.

Sin embargo, he hecho una diferente de contrucción produciendo los mismos resultados:

Me consideran una especie de $L$ dentro $WF(T)$, se $L(T)$; la misma construcción de la $L$ pero al principio de la con $T$ en lugar de $\emptyset$. A continuación, obtener una fila para cada elemento de a $L(T)$.

A continuación, puedes probar por inducción, en el rango, que para cada una de las $x\in L(T)$, hay algunos finito $A\subseteq T$ que se fija por todos los $\hat\pi$ tal que $\pi\upharpoonright A=A(\clubsuit).$ Y también una prueba de que $\hat\pi$ es surjective restringido en cada nivel, en el mismo nivel, siempre que $\pi$ es una permutación de $T$ $(\star)$.

Ahora uno puede ver fácilmente que $L(T)$ es transitiva; para cualquier $\alpha$, $L(\alpha,T)\subseteq L(\alpha+1,T)$, y que la comprensión tiene en $L(T)$; el uso de $(\star)$. Como el de la construcción es con niveles, uno puede mostrar que para cualquier conjunto a $y$ $y\subseteq L(T)$ hay $z\in L(T)$ tal que $y\subseteq z$. Poner juntos estos hechos una muestra que el $L(T)$ es un modelo de $\mathsf{ZF^-}$.

El uso de $(\clubsuit)$ demuestra que $T$ no puede ser bien ordenado en $L(T)$; y como $(WF)^{L(T)}=WF$, obtenemos $(AC)^{WF}$.

Ahora, es el modelo de $M$ dado en el ejercicio de la misma como el que he construido?; recordando algunos modelos de la teoría esto suena plausible, pero no puedo ver por qué.

El ejercicio se realiza en una forma más directa?

Gracias

Answer 1

A mí me parece que hay un error en la definición de $M$. Considerar, por ejemplo, $A$ un infinito co-infinito subconjunto de $T$, está claro que no hay tal subconjunto debe ser en $M$ (debido a dado un subconjunto finito de $T$ siempre podemos encontrar una permutación no preservar $A$ mientras que la fijación de las subconjunto finito).

Sin embargo, el conjunto de $\mathscr A=\{\pi A\mid\pi\in\operatorname{Sym}(T)\}$ está definitivamente cerrado bajo cualquier permutaciones. La definición actual de $M$ permite $\mathscr A$ a de ser incluidos, pero ninguno de sus miembros puede ser en $M$.

Sin embargo, si usted defina $M$ por inducción, que requieren que el $A\in M_{\alpha+1}$ si y sólo si existe tal conjunto finito etc. y $A\subseteq M_\alpha$, entonces usted puede probar la transitividad de $M$.

A continuación, puede comprobar que los axiomas de la $\sf ZF^-$; por otra parte se puede comprobar fácilmente que $WF^M=WF$; que es un modelo de $\sf ZFC$.