Integrante y serie para demostrar que $\log(5)>\frac{8}{5}$

Question

Una relación entre el $\log(5) \approx 1.6094$ $\dfrac{3}{2}=1.5$ puede ser justificado por la aproximación armónica $$\log(5) \approx H_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

que puede ser obtenida por el reagrupamiento de Lehmer del logaritmo

$$\log(5) = \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{5k+1}+\frac{1}{5k+2}+\frac{1}{5k+3}+\frac{1}{5k+4}-\frac{4}{5k+5}\right)$$

simétricamente alrededor del término negativo

$$\log(5)=\frac{3}{2}+\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{5k-2}+\frac{1}{5k-1}-\frac{4}{5k}+\frac{1}{5k+1}+\frac{1}{5k+2} \right)$$

La correspondiente integral es $$\log(5)-\frac{3}{2}=\int_0^1 \frac{x^2(1-x)(1+3x+x^2)}{1+x+x^2+x^3+x^4}\:dx$$

(respuesta https://math.stackexchange.com/a/1656356/134791 por Olivier Oloa)

Esta es una prueba directa de que $\log(5)>\dfrac{3}{2}$ porque el integrando es no negativo en $(0,1)$.

Sin embargo, $\dfrac{8}{5}=1.6$ sería una aproximación más cercana utilizando pequeñas cantidades, por lo que la pregunta natural es:

¿Cuáles son Dalzell de tipo integral y series para $\log(5)-\dfrac{8}{5}$?

Answer 1

No estoy muy seguro de lo que estás buscando, pero me sale

$ \log(5) = \frac{8}{5}-\frac{1}{5}\int_0^1 {\frac {x \left (12\, {x} ^ {5} + 10\, {x} ^ {4} + 15\, {x} ^ 5\ {3}, {x} ^ {2}-7 \right)} {{x} ^ {4} + {x} ^ {3} + {x} ^ {2} + x + 1}} \; DX $$

Answer 2

Aquí es una solución inicial.

Tomar dos truncamientos de la serie $$\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{5k-2}+\frac{1}{5k-1}-\frac{4}{5k}+\frac{1}{5k+1}+\frac{1}{5k+2}\right)$$

que evaluar a $\log(5)-r_1$ $\log(5)-r_2$ tal que

$$r_1<\frac{8}{5}<r_2$$

y construir una combinación lineal de los truncamientos

$$\alpha r_1+(1-\alpha)r_2=\frac{8}{5}$$

con $0<\alpha<1$.

Debido a la linealidad, la resultante de la serie se han términos positivos por la construcción (cuando se combina correctamente) y la correspondiente integral de positivo integrando.

$$\log(5)=\frac{8}{5}+\frac{1}{287} \int_0^1 \frac{x^7(1-x)(1+3x+x^2)(89+198x^{5})}{1+x+x^2+x^3+x^4} dx$$

Una solución aceptable debe tener en menor grado en el numerador.