$\sum_{k=1}^n \log k \ge \int_1^n \log x \, dx$

Question

¿Por qué es

$$\sum_{k=1}^n \log k \ge \int_1^n \log x \, dx$$

¿Hay alguna forma intuitiva o gráfica de pensar en esto?

Answer 1

Pista 1: $\int_1^n \log x \, dx =\sum_{k=2}^n \int_{k-1}^k \log x \, dx $

Pista 2: Si $x \in [k-1,k]$ entonces $\log(x) \leq \log(k)$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\log(x)$ es una función creciente y que $\log(1)=0$, luego mire el siguiente gráfico:

Normalmente, si $f(x)$ es una función creciente, entonces, para $a,b\in\mathbb{Z}$, $$ \sum_{k=a+1}^bf(k)\ge\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x $$ pero dado que $f(a)=\log(1)=0$, podemos incluir $1$ en la suma.

Answer 3

Dibuja una imagen de $\log x$ y las sumas de Riemann izquierda y derecha correspondientes a la integral con un ancho de intervalo de $1$. ¿Cuál de ellas coincide con la suma del lado izquierdo?

Answer 4

Dado que la función logarítmica es monótonamente creciente, tenemos

$$\begin{align} \int_1^n \log x \, dx&=\sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} \log(x) dx \\ &\le \sum_{k=1}^{n-1} \log(k+1) \\ &= \sum_{k=1}^{n} \log(k) \end{align}$$