¿Por qué en este caso $f$ debe ser entera?

Question

Que $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ ser una función.

Supongamos que $f$ satisface sigue:

1. es analítica en un $f$ $z_0$.

2. $\limsup\limits_{n\to\infty} \left|\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\right|^{1/n}=0$.

¿Por qué en este caso $f$ debe ser analítico en todas partes?

Es decir, definir $g(z)=\sum \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^n$.

¿Por qué $g=f$ $\mathbb{C}$?

¿Qué garantiza que coinciden incluso fuera de un barrio determinado de $z_0$?

Answer 1

Como usted mismo, esto no es cierto sin asunciones adicionales en $f$. Tomemos por ejemplo $z_0=0$, $$g(z)=e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$ $ y $f$ sea una función que es igual a $g$ en algún barrio (arbitrariamente pequeño) de $0$ y en todas partes discontinuas en otros lugares.

Answer 2

El hecho de que su función es analítica en $z_0$ significa que existe un radio de $R>0$ s.t. $$ f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n $$ es válido para cada $z\in B(z_0,R[$.

Pero... ¿quién es $R$? Por definición, $R$ es la más grande posible en el que $f$ es analítica; pero de esta manera no nos dicen nada útil.

El hecho es que la segunda hipótesis se garantiza la convergencia de la energía de la serie en la bola de $B(z_0,T[$ donde $1/T=\limsup_n|c_n|^{1/n}=0$ $T=+\infty$ y tiene una potencia de la serie que define una función es analítica en todo el plano complejo (de hecho $B(z_0,+\infty[=\mathbb C$). Llamar a esta función $g$. Ahora tiene dos funciones, $f$$g$, tanto analítica en un nhbrd en $z_0$ en los que coinciden. Por lo tanto, por el principio de identidad, que debe coincidir en todas partes. Pero $g$ está definida en todo el plano complejo, por lo tanto, es LA única posible) de la analítica de la extensión de $f$.